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1、 第25讲 高三一轮（理）期末总复习类型一 函数与导数、数列、解三角形、平面向量考点说明：集合的关系与运算、函数的概念与性质、不等式、导数的计算、导数在函数中的应用、函数在生活中的优化问题、三角函数及三角恒等变换、正弦定理和余弦定理的应用、等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、通项公式的常见求法、前n项和常见求法、平面向量的线性运算和点积是考查重点例1.若集合A=x|x27x0，xN*，则B=y|N*，yA中元素的个数为（）A3个 B4个 C1个 D2个【答案】B【解析】A=x|0x7，xN*=1，2，3，4，5，6，B=1，2，3，6，AB=B，集合A=x|x27x0，xN*，则B=y
2、|N*，yA中元素的个数为4个，故选B例2.下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（）Ay=log3x By=3|x| Cy= Dy=x3【答案】D【解析】根据对数函数的图象知y=log3x是非奇非偶函数；y=3|x|是偶函数；y=是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，且在定义域R上是奇函数，所以D正确，故选D例3.已知与均为单位向量，它们的夹角为60，那么=（）A B C D4【答案】C【解析】，均为单位向量，它们的夹角为60，=，故选C例4.已知变量x，y满足，则z=的最大值为（）A B2 C2 D4【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）,设m=2x+y得y=2x+m，
3、平移直线y=2x+m，,由图象可知当直线y=2x+m经过点A时，直线y=2x+m的截距最大，此时m最大由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=21+2=4即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4,故选D例5.函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）Ay=sin（4x+） By=sin（4x+） Cy=sin（x+） Dy=sin（x+）【答案】A【解析】根据函数的图象：A=1，,则：T=,利用解得=（kZ）,由于|,所以=,求得f（x
4、）=,将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵标不变）,g（x）=,故选A例6.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值【答案】（1）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x1,化简可得f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=，（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+），x，上，2x+，sin（2x+）1，故得函数f（x）在区间，上的最大值和最小值分别为1，【解析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将
5、函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（2） x，上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值例7.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc=0（1）求角A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【答案】（1）ABC中，acosC+asinCbc=0，利用正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sinAcosA=1，sin（A30）=，A30=30，A=60（2）若a=2，ABC的面积为bcsinA=bc=，bc=4 再
6、利用余弦定理可得a2=4=b2+c22bccosA=（b+c）22bcbc=（b+c）234，b+c=4 结合求得b=c=2【解析】（1）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sin（A30）=，由此求得A的值（2）若a=2，由ABC的面积，求得bc=4 ；再利用余弦定理可得 b+c=4 ，结合求得b和c的值例8.已知函数的图象如图所示（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围【答案】（1）求导数可得f（x）=ax2+a2，由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f（1）=
7、0得，解得（2），函数y=g（x）的定义域为（0，+）,若函数y=g（x）在其定义域内为单调增函数，则函数g（x）0在（0，+）上恒成立，即kx2+k2x0在区间（0，+）上恒成立即在区间（0，+）上恒成立令，x（0，+），则（当且仅当x=1时取等号）,k1【解析】（1）由题意可得f（0）=3，f（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；（2）可得函数g（x）的解析式，问题转化为在区间（0，+）上恒成立，只需构造函数，x（0，+），由基本不等式求最值即可类型二 立体几何考点说明：空间几何体的三视图、空间几何体的表面积与体积、点直线平面之间的位置关系、空间向量及其运算、立体几何中的向量方法是考查重
8、点例9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A2 B C D3【答案】C【解析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面,则体积为=，解得x=故选C例10.在ABCA1B1C1中，所有棱长均相等，且ABB1=60，D为AC的中点，求证：（1）B1C平面A1BD；（2）ABB1C【答案】证明：（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，由D，E分别为AC，A1B的中点，可得DEB1C，由DE平面A1BD，B1C平面A1BD，即有B1C平面A1BD；（2）取AB中点O，连接OC，OB1，则O
9、B1AB在正ABC中，O为AB的中点，OCAB，OB1OC=O，AB平面OB1C，ABB1C【解析】（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）取AB中点O，连接OC，OB1，则OB1AB，证明AB平面OB1C，即可证明ABB1C例11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE，设PA=1，AD=2（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角BPCA的正切值【答案】（1）PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABDPC平面BDE，BD平面BDE，PCBD又PAPC=P，BD平面PAC
10、，AC平面PAC，BDAC又底面ABCD为矩形，ABCD为正方形建立如图所示的空间直角坐标系A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）=（0，2，0），=（2，0，1），设平面BPC的法向量为=（x，y，z），取=（1，0，2）平面BPC的一个法向量为=（1，0，2）（2）平面PAC的法向量为：=（2，2，0）,设二面角BPCA=，由图可知为锐角则=cos=sin=tan=3即二面角BPCA的正切值为3【解析】（1）由PA平面ABCD，可得PABD利用线面垂直的性质定理与判定定理可得PCBD，BD平面PAC，即可证明BDAC又底面ABCD为矩形，可
11、得ABCD为正方形建立如图所示的空间直角坐标系设平面BPC的法向量为=（x，y，z），可得，即可得出平面BPC的一个法向量为（2）平面PAC的法向量为：=（2，2，0）设二面角BPCA=，由图可知：为锐角则，tan=，即可得出类型三 平面解析几何考点说明：直线与方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的性质与标准方程、圆锥曲线的综合应用是考查重点例12.已知点A（1，2），过点P（5，2）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，则ABC是（）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定【答案】A【解析】当BC斜率不存在时，方程
12、为x=5，代入抛物线方程y2=4x得B，C,所以AB斜率是，AC斜率是，所以kABkAC=1，所以AB与AC垂直，所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时，显然不能为0，否则与抛物线只有一个公共点，所以设方程为x5=a（y+2）（a是斜率的倒数），代入抛物线方程化简得y24ay8a20=0 设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=4a，y1y2=8a20 x1+x2=（ay1+2a+5）+（ay2+2a+5）=a（y1+y2）+4a+10=4a2+4a+10 ，x1x2=（ay1+2a+5）（ay2+2a+5）=4a2+20a+25， 因为（y12）（y22）=y1y22（y1
13、+y2）+4=16a16 （x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于1，即AB垂直于AC综上可知，三角形ABC是直角三角形，故选A例13.如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4 B C D【答案】B【解析】ABF2为等边三角形，|AB|=|AF2|=|BF2|，由双曲线的定义可得|AF1|AF2|=2a，|BF1|=2a又|BF2|BF1|=2a，|BF2|=4a|AF2|=4a，|AF1|=6a在AF1F2中，由余弦定理可得：=，化为c2=7a2，=,故选B例14.已知椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，点（1，）是椭圆C上的点，离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）点A（x0，y0）（y00）在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接AF2并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求AMN面积的最大值【答案】（1）由题意可知：离心率e=，则a=c，b2=a2c2
