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1、 时间序列分析及其SPSS操作 教师 韩艳敏电话 13676798448 668448 一 时间序列分析概述 时间序列是按时间顺序排列的 随时间变化且相互关联的数据序列 分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域 即时间序列分析 时间序列根据所研究的依据不同 可有不同的分类1 按研究对象多少分 一元时间序列和多元时间序列 2 按时间连续性分 离散时间序列和连续时间序列 3 按序列的统计特性分 平稳时间序列和非平稳时间序列 4 按时间序列分布规律分 高斯型和非高斯型时间序列 时间序列 时间序列分析发展的两个阶段 主要内容 平稳时间序列分析 Box Jenkins 1976 非平稳时间序列分析
2、Engle Granger 1987 时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是 这种建模方法不以经济理论为依据 而是依据变量自身的变化规律 利用外推机制描述时间序列的变化 明确考虑时间序列的平稳性 如果时间序列非平稳 建立模型之前应先通过差分或者协整把它变换成平稳的时间序列 再考虑建模问题 2 如果一个时间序列的概率分布与时间t无关 则称该序列为严格的 狭义的 平稳时间序列 如果序列的一 二阶矩存在 且对任意时刻t满足 1 均值为常数 2 方差为常数 3 协方差为时间间隔k的函数 则称该序列为宽平稳时间序列 也叫广义平稳时间序列 以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列 平稳时间序列 平稳过
3、程例1 i i d序列 一个最简单的随机时间序列是独立同分布标准正态分布序列 平稳过程例2 自回归过程 AR 1 3 1确定性时间序列分析方法概述 时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理 来研究其变化趋势的 一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合 1 长期趋势变动 是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降 或停留在某一水平上的倾向 它反映了客观事物的主要变化趋势 2 季节变动 3 循环变动 通常是指周期为一年以上 由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动 4 不规则变动 通常它分为突然变动和随机变动 时间序列数据的分解 通常用Tt表示长期趋势项 St表示季节变动趋势项 C
4、t表示循环变动趋势项 Rt表示随机干扰项 常见的确定性时间序列模型有以下几种类型 加法模型乘法模型混合模型 yt Tt St Ct Rtyt Tt St Ct Rtyt Tt St Rt yt St Tt Ct Rt t 其中yt是观测目标的观测记录 E Rt 0 E R2 2如果在预测时间范围以内 无突然变动且随机变动的方差 2较小 并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时 可用一些经验方法进行预测 具体方法如下 4 5 设观测序列为y1 yT 取移动平均的项数N T一次移动平均值计算公式 1 移动平均法 6 当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时 可用一次移动平均方法建立预
5、测模型 二次移动平均 其预测标准误差为 7 最近N期序列值的平均值作为未来各期的预测结果 一般N取值范围 5 N 200 当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时 N的取值应较大一些 否则N的取值应小一些 在有确定的季节变动周期的资料中 移动平均的项数应取周期长度 选择最佳N值的一个有效方法是 比较若干模型的预测误差 均方预测误差最小者为好 当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时 常用二次移动平均法 但序列同时存在线性趋势与周期波动时 可用趋势移动平均法建立预测模型 yT m aT bTm m 1 2 其中 1 T 2 T 1 T 2 T M aT 2M M bT M 2N
6、1 例1某企业1月 11月份的销售收入时间序列如下表所示 取N 4 试用简单一次滑动平均法预测第12月份的销售收入 并计算预测的标准误差 Matlab程序y 533 8574 6606 9649 8705 1772 0816 4892 7963 91015 11102 7 temp cumsum y 求累积和mt temp 4 11 0temp 1 7 4 y12 mt end ythat mt 1 end 1 fangcha mean y 5 11 ythat 2 sigma sqrt fangcha 结果temp 1 0e 003 0 53381 10841 71532 36513 070
7、23 8422 4 65865 55136 51527 5303 8 6330 mt 591 2750634 1000683 4500735 8250796 5500861 2500922 0250993 6000y12 993 6000ythat 591 2750634 1000683 4500735 8250796 5500861 2500922 0250fangcha 2 2654e 004sigma 150 512110 11 2 指数平滑法 一次移动平均实际上认为最近N期数据对未来值影响相同 都加权1 N 而N期以前的数据对未来值没有影响 加权为0 但二次及更高次移动平均数的权数却不
8、是1 N 且次数越高 权数的结构越复杂 但永远保持对称的权数 即两端项权数小 中间项权数大 不符合一般系统的动态性 一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的 所以更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值 指数平滑法可满足这一要求 而且具有简单的递推形式 指数平滑的基本公式 1 1 2 设观测序列为y1 yT 为加权系数 0 1 一次指数平滑公式为 假定历史序列无限长 则有 由于加权系数序列呈指数函数衰减 加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响 所以称为一次指数平滑 一次指数平滑预测 12 表明St 1 是全部历史数据的加权平均 加权系数分别为 一次指数平滑
9、 13 类似地有 二次指数平滑公式三次指数平滑公式 P次指数平滑公式 利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型 原则上说 不管序列的基本趋势多么复杂 总可以利用高次指数平滑公式建立一个逼近很好的模型 但计算量很大 因此用的较多的是几个低阶指数平滑预测模型 1 一次指数平滑预测 2 二次指数平滑预测 适用线性趋势数列 Brown单系数线性平滑预测 指数平滑预测 3 三次指数平滑预测 适用于二次曲线趋势数列 Brown单系数二次式平滑预测 由于指数平滑公式是递推计算公式 必须确定初始值 可以取前3 5个数据的算术平均值作为初始值 16 指数平滑预测模型以时刻t为起点 综合历史序列信息 对未来进行预
10、测 选择合适的加权系数 是提高预测精度的关键环节 据经验 的取值范围一般以0 1 0 3为宜 值愈大 加权系数序列衰减速度愈快 所以 取值大小起着控制参加平均的历史数据个数的作用 值愈大意味着采用的数据愈少 因此可得到选择 值的一些基本准则 1 如果序列的基本趋势比较稳 预测偏差由随机因素造成 则 值应取小一些 以减少修正幅度 使预测模型能包含更多历史数据的信息 2 如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化 则 值应取得大一些 这样 可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正 以使预测模型适应预测目标的新变化 例2下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价 试用一次指数平滑法预测第9个交易日的收盘
11、价 初始值S0 1 y1 0 4 19 Matlab程序alpha 0 4 y 16 4117 6216 1515 5417 2416 8318 1417 05 s1 1 y 1 fori 2 8s1 i alpha y i 1 alpha s1 i 1 endyhat9 s1 end sigma sqrt mean s1 1 end 1 y 2 end 2 运行结果 s1 16 4100 yhat9 17 1828 sigma 0 9613 Matlab程序clc clearalpha 0 4 y 16 4117 6216 1515 5417 2416 8318 1417 05 s1 1 y
12、 1 fori 2 8s1 i alpha y i 1 alpha s1 i 1 ends2 y 1 fori 2 8s2 i alpha s1 i 1 alpha s2 i 1 enda8 2 s1 8 s2 8 b8 alpha 1 alpha s1 8 s2 8 yhat9 a8 b8yhat 1 y 1 fori 2 8yhat i s1 i 1 1 1 alpha s1 i 1 s2 i 1 endtemp sum yhat y 2 sigma sqrt temp 6 运行结果 a8 17 3801b8 0 1315yhat9 17 5116yhat 16 4100sigma 1 2
13、054预测结果不如一次指数平滑法预测的预测结果 21 46 二 平稳时间序列模型 这里的平稳是指宽平稳 其特性是序列的统计特性不随时间平移而变化 即均值和协方差不随时间的平移而变化 主要有下面几种模型 1 自回归模型 AutoRegressiveModel 简称AR模型2 移动平均模型 MovingAverageModel 简称MA模型3 自回归移动平均模型 AutoRegressiveMovingAverageModel 简称ARMA模型 假设时间序列Xt仅与Xt 1 Xt 2 Xt n有线性关系 而在Xt 1 Xt 2 Xt n已知条件下 Xt与Xt j j n 1 n 2 无关 t是一个
14、独立于Xt 1 Xt 2 Xt n的白噪声序列 可见AR n 系统的响应Xt具有n阶动态性 AR n 模型通过把Xt中的依赖于Xt 1 Xt 2 Xt n的部分消除掉后 使得具有n阶动态性的序列Xt转化为独立的序列 t 因此拟合AR n 模型的过程也就是使相关序列独立化的过程 1 一般自回归模型AR n 48 如果一个系统在t时刻的响应Xt 与其以前时刻t 1 t 2 的响应Xt 1 Xt 2 无关 而与其以前时刻t 1 t 2 t m进入系统的扰动 t 1 t 2 t m存在着一定的相关关系 那么这一类系统为MA m 系统 2 移动平均模型MA m 如 MA 1 模型 Yt 0 1 t 0
15、3 t 1 其中 t是白噪声过程 49 一个系统 如果它在时刻t的响应Xt 不仅与其以前时刻的自身值有关 而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系 那么 这个系统就是自回归移动平均系统 ARMA n m 模型 对于平稳系统来说 由于AR MA ARMA n m 模型都是ARMA n n 1 模型的特例 我们以ARMA n n 1 模型为一般形式来建立时序模型 3 自回归移动平均模型 MA过程 例下面是一个MA 2 模型 计算它的自相关函数 并画图 t t 0 2 t 1 0 1 t 2 1 1 2 1 1 12 22 0 2 0 2 0 1 1 0 12 0 22 0 2 2 2 1
16、 12 22 0 1 1 0 12 0 22 0 095 ARMA的模型设定与识别 ACF图 识别阶数q 基本结论MA q 过程的自相关函数q步截尾 根据自相关函数与偏自相关函数定阶 根据样本自相关函数和样本偏相关函数定阶一般要求样本长度大于50 才能有一定的精确程度自相关函数和样本偏相关函数定阶的准则MA q AR p ARMA p q 自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏相关函数拖尾p步截尾拖尾 ARMA的模型设定与识别 ARIMA p d q 过程和模型 随机过程不平稳 从图形看不重复穿越一条水平线 样本自相关函数收敛速度慢 差分以后是一个ARMA过程注意不要过度差分d表示差分的次数 ARMA的模型设定与识别 MA 1 Yt t 0 5 t 1 ARMA的模型设定与识别 MA q AR p ARMA p q 自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏相关函数拖尾p步截尾拖尾 AR 1 Yt 0 6Yt 1 t ARMA的模型设定与识别 MA q AR p ARMA p q 自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏相关函数拖尾p步截尾拖尾 ARMA 1 1 Yt 0 7Yt 1 t 0 7 t 1 三 ARMA的模
