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1、专题二数学思想方法 概述数学思想方法既是思想也是方法 思想 是统领全局的总纲 方法 是可以具体操作的解题方法 思想 与 方法 是密不可分的整体 在高考中主要考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想等数学思想方法 1 函数思想就是通过建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题得到解决 方程思想就是将所求的量设成未知数 根据题中的等量关系 列方程 组 通过解方程 组 或对方程 组 进行研究 以求得问题的解决 2 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 主要包括以下两个方面 1 以形助数 把某些抽象的数学问题直观化 生动化
2、能够变抽象思维为形象思维 揭示数学问题的本质 2 以数辅形 把直观图形数量化 使形更加精确 3 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化 进而解决问题的一种方法 其应用包括以下三个方面 1 将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 2 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 3 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 4 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结论 最终集合各类结果得到整个问题的解答 实质上分类讨论就是 化整为零 各个击破 再集零为整 的数学思想 一 函数与方程
3、思想 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 已知函数f x 是定义在R上的可导函数 且对于 x R 均有f x f x 则有 A e2018f 2018 e2018f 0 B e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 D e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 思维建模 函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化 把不等式转化为函数 借助函数的图象和性质可解决相关的问题 常涉及不等式恒成立问题 比较大小问题 一般利用函数思想构造新函数 建立函数关系求解 答案 1 B 2 2017 山西三区八校二模 定义在R上的奇函数f x 的导
4、函数满足f x f x 且f x f x 3 1 若f 2015 e 则不等式f x ex的解集为 答案 2 1 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 2017 全国 卷 记Sn为等比数列 an 的前n项和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并判断Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 思维建模 数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数 可用函数与方程思想处理数列问题 涉及特殊数列 等差 等比数列 已知Sn与an关系问题 应用方程思想列方程 组 求解 涉及最值问题或参数范围问题 应用函数思想来解决 热点三 函数与方程思想在立体几何 解析几何中的应用 答案
5、 1 C 思维建模 立体几何 解析几何中的求值问题 解析几何中的位置关系问题常应用方程思想列方程 组 求解 求范围 最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数 然后应用有关知识 求函数的最值或值域 答案 1 C 答案 2 2 二 数形结合思想 热点一 利用数形结合思想研究函数零点问题 解析 函数g x f x ax a存在零点等价于方程f x ax a 0 即f x a x 1 有解等价于函数y f x 与y a x 1 的图象有交点 思维建模 解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题 解函数零点和问题 常应用数形结合思想利用图象的对称性求解 解析 1 函数y f x a
6、 x 恰有4个零点 须y1 f x 与y2 a x 的图象有4个不同的交点 如图所示 由图可知 当y2 ax x 0 与y1 x2 5x 4 4 x 1 相切时 方程x2 5 a x 4 0有两个相等实数根 则 5 a 2 16 0 且a 5 0 解得a 1 a 9舍去 所以当x 0时 y1 x2 5x 4与y2 ax的图象有3个交点 显然当1 a 2时 两函数的图象恰有4个不同交点 即函数y f x a x 恰有4个零点 故选B 2 2018 石家庄市质检 已知M是函数f x 2x 3 8sin x x R 的所有零点之和 则M的值为 A 3 B 6 C 9 D 12 热点二 利用数形结合思
7、想解决最值问题 例5 已知实系数一元二次方程x2 ax 2b 0有两个根x1 x2 x1 0 1 x2 1 2 求 1 点 a b 对应区域的面积 3 a 1 2 b 2 2的值域 解 3 a 1 2 b 2 2表示区域内的点 a b 与定点D 1 2 之间距离的平方因为 AD 2 17 CD 2 8 所以8 a 1 2 b 2 2 17 所以 a 1 2 b 2 2的值域为 8 17 思维建模 在约束条件下求目标函数最值问题 应用数形结合思想 画出可行域 根据目标函数的几何意义求解 最优解一般在可行域的顶点或边界处取得 因此对于可行域为封闭型的线性规划问题 可以直接解出可行域的所有顶点坐标
8、然后将坐标分别代入目标函数求出相应的值 从而确定目标函数的最值 热点三 利用数形结合思想解决不等式 参数问题 例6 1 2018 石家庄市质检 已知f x 为奇函数 且当x 0时 f x 单调递增 f 1 0 若f x 1 0 则x的取值范围为 A x 02 B x x2 C x x3 D x x1 解析 1 因为函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 0 又函数f x 在 0 上单调递增 所以可作出函数f x 的示意图 如图 则不等式f x 1 0可转化为 11 解得02 故选A 思维建模 利用函数的图象解决不等式问题 通常根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 若函数为不熟悉
9、的形式 需要做适当的变形 转化为熟悉的函数 然后在同一坐标系中做出两个函数的图象 利用图象的位置 找到数量关系 从而解决不等式的问题 答案 1 D 答案 2 5 三 化归与转化思想 热点一 特殊与一般的转化 思维建模 把一般问题特殊化 解答选择题 填空题常能起到事半功倍的效果 既准确又迅速 要注意恰当利用所学知识 恰当选择特殊量 化一般为特殊的应用 热点训练6 1 2017 甘肃兰州一诊 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若a3 a5 a7 24 则S9等于 A 36 B 72 C 144 D 288 热点二 函数 方程 不等式之间的转化 思维建模 函数 方程与不等式就像 一胞三兄弟 解决
10、方程 不等式的问题需要函数帮助 解决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数 方程 不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 一般可将不等关系问题转化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范围 函数 方程与不等式相互转化的应用 答案 1 B 答案 2 2 热点三 正难则反的转化 思维建模 若问题直接求解困难时 可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题 四 分类讨论思想 热点一 由数学概念 性质 运算引起的分类讨论 答案 1 A 2 2017 安徽阜阳二模 等比数列 an 中 a1 a4 a7 2 a3 a6 a9 18 则 an 的前9项和S9 答案 2 14或26 思维建模 1
11、 由二次函数 指数函数 对数函数的定义 直线的倾斜角 向量的夹角的范围等引起分类讨论 2 由除法运算中除数不为零 不等式两边同乘以 或除以 同一个数 或式 时的不等号等引起分类讨论 3 由数学公式 定理 性质成立的条件等引起分类讨论 数学概念运算公式中常见的分类 答案 1 C 解析 1 当 7 x 0时 f x x 1 0 6 当e 2 x e时 f x lnx单调递增 得f x 2 1 综上 f x 2 6 若存在实数m 使f m 2g a 0 则有 2 2g a 6 即 1 a2 2a 3 1 a 3 故选C 2 在等比数列 an 中 已知a3 4 S3 12 则a1 答案 2 16或4 热点二 由图形位置或形状引起的分类讨论 思维建模 图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时 常按椭圆 双曲线来分类讨论 求圆锥曲线的方程时 常按焦点的位置不同来分类讨论 相关计算中 涉及图形问题时 也常按图形的位置不同 大小差异等来分类讨论 热点三 由变量或参数引起的分类讨论 例12 2018 南昌市摸底 设函数f x 2lnx mx2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 当f x 有极值时 若存在x0 使得f x0 m 1成立 求实数m的取值范围 思维建模 解含参数不等式 方程 函数问题及含参数方程中曲线类型的判定问题 常按参数的取值不同分类讨论
