《高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线及其性质课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线及其性质课件理（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 9 6抛物线及其性质 高考理数 考点一抛物线的定义及其标准方程平面内到一个定点F和一条定直线l F l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的 焦点 直线l叫做抛物线的 准线 抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称 这条直线叫抛物线的对称轴 简称抛物线的轴 在抛物线中 记焦点F到准线l的距离为p 以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点 以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2 2px x2 2py 其中p 0 知识清单 考点二抛物线的几何性质 考点三直线与抛物线的位置关系凡涉及抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率问题 要注意利用根与系数的关系
2、 避免求交点坐标的复杂运算 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 焦点弦及其性质设AB为过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的弦 A x1 y1 B x2 y2 则 1 x1x2 2 y1y2 p2 3 弦长 AB x1 x2 p 为直线AB的倾斜角 4 S AOB 5 6 以弦AB为直径的圆与准线相切 7 以AF为直径的圆与y轴相切 8 焦点F对A B在准线上射影的张角为90 知识拓展 1 点P x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系 1 点P x0 y0 在抛物线内 2px0 2 若AB是抛物线x2 2py p 0 的任意一条焦点弦 分别
3、过A B作抛物线的切线 交于点P 则 1 P的轨迹为准线y 2 PA PB 3 PF AB 4 xP 1 定义法 根据条件确定动点满足的几何特征 从而确定p的值 得到抛物线的标准方程 2 待定系数法 1 根据抛物线焦点在x轴上还是y轴上 设出相应形式的标准方程 然后根据条件确定关于p的方程 解出p 从而写出抛物线的标准方程 2 当焦点位置不确定时 有两种方法解决 一种是分情况讨论 注意要对四种形式的标准方程进行讨论 对于焦点在x轴上的抛物线 为避免开口方向不确定而分为y2 2px p 0 或y2 2px p 0 两种情况求解 另一种是设成y2 mx m 0 若m 0 则开口向右 若m 0 则开
4、口向左 m有两个解 则抛物线的标准方程有两个 同理 焦点在y 求抛物线的标准方程的方法 方法技巧 轴上的抛物线可以设成x2 my m 0 例1 2017河北六校模拟 14 抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 点O是坐标原点 过点O F的圆与抛物线C的准线相切 且该圆的面积为36 则抛物线的方程为 解题导引 解析设满足题意的圆的圆心为M 根据题意可知圆心M在抛物线上 又 圆的面积为36 圆的半径为6 则 MF xM 6 即xM 6 又由题意可知xM 6 解得p 8 抛物线方程为y2 16x 答案y2 16x 抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹 利用该定义可有效地实现抛物线上的点到焦
5、点和到准线的距离的转化 将有利于问题的解决 解题时要充分利用定义 多关注焦点和准线 例2 2016广东广州3月模拟 6 如果P1 P2 Pn是抛物线C y2 4x上的点 它们的横坐标依次为x1 x2 xn F是抛物线C的焦点 若x1 x2 xn 10 则 P1F P2F PnF A A n 10B n 20C 2n 10D 2n 20 抛物线定义的应用策略 解题导引 解析由抛物线的方程y2 4x可知其焦点为F 1 0 准线方程为x 1 由抛物线的定义可知 P1F x1 1 P2F x2 1 PnF xn 1 所以 P1F P2F PnF x1 1 x2 1 xn 1 x1 x2 xn n n
6、10 故选A 评析掌握抛物线的定义是解题的关键 1 设直线l y kx b 抛物线y2 2px p 0 直线与抛物线交点的个数等价于方程组解的个数 也等价于方程ky2 2py 2bp 0解的个数 当k 0时 若 0 则直线和抛物线相交 有两个公共点 若 0 则直线和抛物线相切 有一个公共点 若 0 相交 有一个公共点 特别地 当直线l的斜率不存在时 设l x m 则当m 0时 l与抛物线相交 有两个公共点 当m 0时 l与抛物线相切 有一个公共点 当m 0时 l与抛物线相离 无公共点 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 2 直线与抛物线相离 无交点 时 常求抛物线上的点到此直线的距离的最小值
7、方法有两种 一是将距离d写成一个变量的函数 利用函数求之 二是利用切线法求 3 相切时 求切线斜率 一种方法是利用 0求 另一种方法是利用导数求 例3 2017河北衡水中学调研 15 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 过F的直线l与抛物线交于A B两点 且 AF 4 FB O为坐标原点 若 AOB的面积为 则p 解题导引 解析易知抛物线y2 2px的焦点F的坐标为 准线为x 不妨设点A在x轴上方 如图 过A B作准线的垂线AA BB 垂足分别为A B 过点B作BH AA 交AA 于H 则 BB A H 设 FB t 则 AF AA 4t AH AA A H 3t 又 AB 5t 在Rt ABH中 cos HAB tan HAB 则可得直线AB的方程为y 由得8x2 17px 2p2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 AB x1 x2 p p p p 易知点O到直线AB的距离为d OF sin A AB p S AOB p p p2 1 又p 0 p 1 答案1
