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1、第一章导数及其应用复习 分析 1 利用y f x 在点 2 f 2 处的切线方程建立a和b之间的关系式 即可求出f x 的解析式 2 先求出过任一点P x0 y0 的切线方程 然后求解 答案 D 例1 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 分析 依据导数的符号来判断函数的单调性 再由单调性求最值 解析 1 f x x k 1 ex令f x 0 得x k 1 f x 与f x 随x的变化情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x
2、在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 评析 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力 分析 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性 1 问 利用导函数大于 小于 零 解不等式求得函数的单调区间 注意参数k的取值对单调区间的影响 2 问把不等式恒成立求参数的范围问题 转化为求函数f x
3、的区间 0 上的最值 注意对k分k 0 k 0两种情况进行分类讨论 所以 f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 当k 0时 f x 与f x 的情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 3 证明f x x3 ax 1的图像不可能总在直线y a的上方 解析 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即
4、a 3x2时 对x R恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0 在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 3 f 1 a 2 a f x 的图像不可能总在直线y a上方 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解析 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b
