《高考数学总复习专题七解析几何7.3解析几何压轴题精选刷题练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习专题七解析几何7.3解析几何压轴题精选刷题练理（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.3解析几何(压轴题)命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验对方向1.(2017全国20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2 NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2 NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P
2、(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(1)证
3、明由题知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(
4、x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点.(1)解设B(x,y),则AB的中点Dx2,0,y0.C(0,1),则DC=-x2,1,DB=x2,y,在C中,DCDB,DCDB=0,-x24+y=0,即x2=4
5、y(y0).点B的轨迹E的方程为x2=4y(y0).(2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).y=x24,y=x2,过点M、N的切线方程分别为y-y1=x1x(x-x1),y-y2=x22(x-x2).由4y1=x12,4y2=x22,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.点P在这两条切线上,2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜
6、率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-34.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记QF1O与PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解(1)设P(x,y),A(-2,0),B(2,0),k1=yx+2,k2=yx-2,又k1k2=-34,y2x2-4=-34,x24+y23=1(x2),轨迹C的方程为x24+y23=1(x2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故ORPF1,故PF1R与PF1O同底等高,故SPF1R=SPF1O,S=SQF1O+SPF1E=SPQO,当直线
7、PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时SPQO=12132-32=32;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k0;联立y=k(x+1),x24+y23=1,解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,=144(k2+1)0,x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,故|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2,点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,S=12|PQ|d=6k2(k2+1)(3+4k2)2,令u=3+4k2(
8、3,+),故S=6u-34u+14u2=32-3u2-2u+10,32,故S的最大值为32.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).设W(x0,y0),证明:x022+y02|CD|=2,由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=2,c=1,b=2-1=1,E的方程为x22+y2=1.(2)证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有x02+y02=1,又因Q
9、,R,S,T为不同的四个点,x022+y021.解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组y=k(x+1),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=22k2+12k2+1,同理得|RT|=22k2+1k2+2,SQSRT=12|QS|RT|=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)4(k2+1)22k2+1+k2+222=169,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=1时等号成立.综上所述,当k=1时,四边形QRST的面积取得最小值169.4.(2018福建福州3
10、月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2MQ=AQ,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2MQ=AQ,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以2(x1-x)=0,-2y=-y1,解得x1=x,y1=2y.由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知,E的方
11、程为x24+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k0).由y=kx+1,x24+y2=1得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-8k1+4k2,|BP|=1+k2|x1-x2|=8|k|1+4k21+k2,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=64k2(1+k2)(1+4k2)2,由x2+(y-1)2=64k2(1+k2)(1+4k2)2,x2+4y2=4,得3y2+2y-5+64k2(1+k2)(1+4k2)2=0(-1y1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+64k2(1
12、+k2)(1+4k2)2(-1x0,f(-1)0,整理得4k4-4k2+10,-4+64k2(1+k2)(1+4k2)20,即4k4-4k2+10,12k4+8k2-10,所以k212,k218.解得k-,-22-22,-2424,2222,+,所以k的取值范围为-,-22-22,-2424,2222,+.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验对方向1.(2018全国19)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的
13、方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)证明当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x20)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x
