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1、高中数学辅导网 http:/不等式证明方法大全不等式的证明是数学证题中的难点,其原因是证明无固定的程序可循,方法多样,技巧性强。1、比较法(作差法)在比较两个实数和的大小时,可借助的符号来判断。步骤一般为:作差变形判断(正号、负号、零)。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。例1、已知:,求证:。证明:,故得。2、分析法(逆推法)从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。例2、求证:。证明:要证,即证,即,由此逆推即得。3、综合法证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运
2、用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。例3、已知:,同号,求证:。证明:因为,同号,所以,则,即。4、作商法(作比法)在证题时,一般在,均为正数时,借助或来判断其大小,步骤一般为:作商变形判断(大于1或小于1)。例4、设,求证:。证明:因为,所以,。而,故。5、反证法先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。例5、已知,是大于1的整数,求证:。证明:假设,则,即,故,这与已知矛盾,所以。6、迭合法(降元法)把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原
3、不等式获证。例6、已知:,求证:。证明:因为,所以,。由柯西不等式,所以原不等式获证。7、放缩法(增减法、加强不等式法)在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例7、求证:。证明:令,则,所以。8、数学归纳法对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成
4、立,那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。例8、已知:,求证:。证明:(1)当时,不等式成立;(2)若时,成立,则=,即成立。根据(1)、(2),对于大于1的自然数都成立。9、换元法在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。例9、已知:,求证:。证明:设,则, (因为,),所以。10、三角代换法借助三角变换,在证题中可使某些问题变易。例10、已知:,求证:。证明:设,则;设,则所以。11、判别式法通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式。例11、设,且,求证:。证明:设,则代入中得,即因为
5、,所以,即,解得,故。12、标准化法形如的函数,其中,且为常数,则当的值之间越接近时,的值越大(或不变);当时,取最大值,即。标准化定理:当A+B为常数时,有。证明:记A+B=C,则,求导得,由得C=2A,即A=B又由知的极大值点必在A=B时取得由于当A=B时,故得不等式。同理,可推广到关于个变元的情形。例12、设A,B,C为三角形的三内角,求证:。证明:由标准化定理得,当A=B=C时,取最大值,故。13、等式法应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13(1956年波兰数学竞赛题)、为的三边长,求证:。证明:由海伦公式,其中。两边平方,移项整理得而,所以。14、函数极
6、值法通过变换,把某些问题归纳为求函数的极值,达到证明不等式的目的。例14、设,求证:。证明:当时,取最大值;当时,取最小值4。故。15、单调函数法当属于某区间,有,则单调上升;若,则单调下降。推广之,若证,只须证及即可,。例15、,求证:。证明:当时,而故得。16、中值定理法利用中值定理:是在区间上有定义的连续函数,且可导,则存在,满足来证明某些不等式,达到简便的目的。例16、求证:。证明:设,则故。17、分解法按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的。例17、,且,求证:。证明:因为所以。18、构造法在
7、证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。例18、已知:,求证:。证明:依题设,构造复数,则,所以故。19、排序法利用排序不等式来证明某些不等式。排序不等式:设,则有,其中是的一个排列。当且仅当或时取等号。简记作:反序和乱序和同序和。例19、求证:。证明:因为有序,所以根据排序不等式同序和最大,即。20、几何法借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易。例20、已知:,且,求证:。证明:以为斜边,为直角边作延长AB至D,使,延长AC至E,使,过C作AD的平行线交DE于F,则,令,所以又,即,所以。 另外,还可以利用重要的不等式来证题,如平均不等式、柯西(Cauchy)不等式、琴生(Jensen)不等式、绝对值不等式、贝努利(J.Bernoulli)不等式、赫尔德(O.Hlder)不等式、三角形不等式、闵可夫斯基(H.Minkowski)不等式等,这里不再烦述了。在实际证明中,以上方法往往相互结合、互相包含,证题时,可能同时运用几种方法,结合起来加以证明。京翰教育1对1家教 http:/