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1、与圆有关的证明与计算1如图，在RtABC中，C90，点D、E、F分别在AC、BC、AB的边上，以AF为直径的O恰好经过点D、E，且DEEF.(1)求证：BC是O的切线；(2)若B30，求的值第1题图(1)证明：如解图，连接OD，OE，DF，AF是O的直径，ADF90，C90，DFBC，DEEF，OEDF，OEBC，OE是O的半径，BC是O的切线；第1题解图(2)解：B30，且OEBC，BOE60，OEOF，OEF是等边三角形，OEF60，又DEEF，OEDF，OEDOEF60，CED30，CDE60，在RtCDE中，tanCDEtan60，.2如图，在RtBGF中，F90，AB是O的直径，O交
2、BF于点E，交GF于点D，AEOD于点C，连接BD.(1)求证：GF是O的切线；(2)若OC2，AE4，求DBF的度数第2题图(1)证明：AB是O的直径，AEB90，又F90，AEBF，AEGF，AEOD，ODGF，OD是O的半径，GF是O的切线；(2)解：ODAE，ACCEAE2，OAOB，OC是ABE的中位线，BE2OC4，在RtAOC中，OA4，CEFDCEF90，四边形CDFE是矩形，DFCE2，EFCDODOC422，BFBEEF426，tanDBF，DBF30.3如图，点C是O的直径AB的延长线上一点，点D在O上，且DAC30，BDCABD.(1)求证：CD是O的切线；(2)若OF
3、AD分别交BD、CD于点E、F，BD2，求OE、CF的长第3题图(1)证明：如解图，连接OD，AB是O的直径，ADB90.DAC30，ABD60，BDCABD30.ODOB，ODB60，ODCODBBDC90，即ODDC，OD是O的半径，CD是O的切线；第3题解图(2)解：OFAD，ADB90，OFBD，BOEA30，ODOB，DEBEBD1.在RtOEB中，BOE30，OB2BE2，OE.ODOB2，CABDBDC30，DOF30，CD2，DFODtan30，CFCDDF2.4. 如图，在RtABC中，ACB90，BD是ABC的平分线，点O在AB上，O经过B，D两点，交BC于点E.(1)求证
4、：AC是O的切线；(2)若AB6，sinBAC，求BE的长第4题图(1)证明：如解图，连接OD，BD是ABC的平分线，12，OBOD，23，13，DOBC，ACB90，ADO90，即ACOD，OD是O的半径，AC是O的切线；第4题解图(2)解：设O的半径为R，在RtABC中，ACB90，sinBAC，AB6，BCABsinBAC64，由(1)知，ODBC，AODABC，解得R，如解图，过点O作OFBC于点F，则BE2BF，OFAC，BOFBAC，sinBOF，BF，BE2BF.5. 如图，等腰ACD内接于O，其中ACCD，AB是O的直径，连接BC，BD，过点C作BD的垂线，分别交AB、DB的延
5、长线于点E、F.(1)求证：CE是O的切线；(2)若AB5，BD3，求CE的长第5题图(1)证明：如解图，连接CO并延长交AD于点M，ACCD，CMAD，AB是O的直径，ADB90，ADDF，CMDF，即OCDF，DFCE，OCCE，又OC是O的半径，EC是O的切线；第5题解图(2)解：在RtABD中，AB5，BD3，AD4，OCDF，COEABD，ADBOCE90，ABDEOC，即，CE.6. 如图，ABC是等腰三角形，ABAC，以AC为直径的半圆O与BC交于点D，DEAB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若半圆O的半径为2，BE1，求CF的长
6、第6题图(1)证明：如解图，连接OD、AD，AC是半圆O的直径，ADC90，ADBC.又ABAC，DCBD.OCOA，OD是ABC的中位线，ODAE，DEAE，ODDE，又OD为半圆O的半径，DE是O的切线；第6题解图(2)解：ODFAEF，FF，ODFAEF，OD为CAB的中位线，AB2OD4，AEABBE3，解得OF4，CFOFOC2.7. 如图，在ABC中，ABBC，D是AC的中点，BE平分ABD交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与O相切；(2)若BD6，CD8，求O的半径第7题图(1)证明：如解图，连接OE，ABBC，D是AC中
7、点，BDAC，BE平分ABD，12，OEOB，13，23，OEBD，BDAC，OEAC，OE是O的半径，AC与O相切；第7题解图(2)解：在RtBCD中，BD6，CD8，BC10，AB10.OEBD，AOEABD，设O的半径为r，则有，解得r，O的半径为.8. 如图，在等腰ABC中，ACBC，A30，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过点D作DEAC，垂足为E.(1)求证：DE为O的切线；(2)若BC4，求DE的长第8题图(1)证明：如解图，连接OD，ODOB，ODBB，ACBC，AB，ODBA，ODAC，ODEDEA90，OD为O的半径，DE为O的切线；第8题解图(2)解：如解图，连接CD
8、，BC为O的直径，ADCBDC90，A30，ACBC4，ADACcos3042，DEAD.9. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于D，E，过点D作DFAC，垂足为F.(1)求证：DF为O的切线；(2)若AE4，CDF22.5，求劣弧的长第9题图(1)证明：如解图，连接AD，OD，AB是直径，ADB90，ADBC，ABAC，D是BC的中点，O是AB的中点，ODAC，DFAC，ODDF.OD是O的半径，DF是O的切线；第9题解图(2)如解图，连接OE，ADC90，DFC90，DACC90，CDFC90，DACCDF22.5，ABAC，D是BC中点，BAC2DAC222
9、.545，OAOE，OEABAC45，AOE90，AE4，OAOE4，l2.10. 如图，在ABC中，D是AB边上一点，O过点B、C、D，连接CD，且BACD45，连接OD交BC于点E.(1)求证：AC是O的切线；(2)求证：BDECAD；(3)若DCB30，求的值第10题图(1)证明：如解图，连接OC，ABC45，DOC90，OCOD，OCD是等腰直角三角形，OCD45，又ACD45，OCDACD454590，即ACO90，OCAC，OC是O的半径，AC是O的切线；第10题解图(2)证明：由(1)知，OCAC，DOC90，ODAC，BDOA，又BACD45，BDECAD；(3)解：如解图，过点D作DHBC于点H，设O的半径为r，则CDr，在RtCDH中，DCH30，DHCDr，CHCDcos30r，在RtBDH中，B45，BHDHr，BCBHCHr，1.
