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1、1 利用直角坐标系计算二重积分 小结 利用极坐标系计算二重积分 doubleintegral 二重积分的换元法 第二节二重积分的计算法 第九章重积分 2 本节介绍计算二重积分的方法 二重积分化为 累次积分 即两次定积分 一 利用直角坐标系计算二重积分 3 1 积分区域为 其中函数 在区间上连续 4 计算截面面积 红色部分即A x0 以D为底 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 是区间 为曲边的曲边梯形 为底 曲线 5 是区间为底 曲线为曲边的曲边梯形 有 称为 先对y后对x的二次积分 累次积分 6 2 积分区域为 先对x后对y的二次积分 也即 其中函
2、数 在区间 上连续 7 特殊地 注 D为矩形域 则 a x b c y d 8 穿过区域且平行于y轴的直线 穿过区域且平行于x轴的直线 计算结果一样 又是Y型 3 积分区域D既是X型 X型区域的特点 Y型区域的特点 与区域边界相交不多于两个交点 与区域边界相交不多于两个交点 但可作出适当选择 9 4 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 用积分区域的可加性质 则必须分割 10 例 解 积分域既是X型又是Y型 法一 所围平面闭区域 两曲线的交点 11 先对x后对y的积分 法二 12 例 siny2对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是 改写D为 分析 所以将二次积分先 将所
3、给的积分域 1 2 画出积分域的草图 3 计算二次积分 不能用基本积分法算出 可用基本积分法算出 交换积分次序 用联立不等式表示D 13 14 例 交换积分次序 解 积分区域 原式 15 交换积分次序的步骤 1 将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域 2 按相反顺序写出相应的二次积分 并画出草图 16 1990年研究生考题 填空 3分 解 练习 交换积分次序 17 又是能否进行计算的问题 计算二重积分时 恰当的选取积分次序 十分重要 它不仅涉及到计算繁简问题 而且 凡遇如下形式积分 等等 一定要放在 后面积分 18 例求证 左边的累次积分中 积分域 可表为 提示 定积分与积分变量
4、的记法无关 不能具体计算 所以 是y的抽象函数 证毕 先交换积分次序 19 例求两个底圆半径为R 且这两个圆柱面的方程分别为及 解 求所围成的 立体的体积 还有别的做法吗 20 2002年研究生考题 7分 练习 计算二重积分 其中 解 设 21 解 计算积分 不能用初等函数表示 先交换积分次序 练习 例 则 提示 如图 A 设有平面闭区域 例 有一个平面薄片 在平面上占有区域其面密度为 求该薄片的质量M 由于积分区域关于轴 轴都对称 且被积函数关于都是偶函数 根据得 解 根据二重积分的物理意义 例 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 机动目录上页下页返回结束 2014 3 例 设在
5、连续 且 证明 证明 补区域使其与区域 注意到被积函数关于和对称 关于直线对称 例 设为取值恒大于0的连续函数 区域 与是两个非零常数 则二重积分 解 由于区域关于直线对称 可得 从而 32 计算 解 积分区域D关于x轴对称 被积函数关于y为偶函数 原式 记D1为D的y 0的部分 则 D1 练习 二 利用极坐标系计算二重积分 33 两相邻弧半径平均值 内取圆周 上一点 其直角坐标 则 设为 34 得 即 也即 35 1 积分区域D 36 2 积分区域D 曲边扇形 37 极坐标系下区域的面积 3 积分区域D 注 一般 在极坐标系下计算 38 解 例 写出积分 的极坐标二次积分 其中积分区域 形式
6、 在极坐标系下 圆方程为 直线方程为 39 解 例 计算 其中D是由中心在原点 半径为a的圆周所围成的闭区域 在极坐标系下 40 解 求反常积分 例 显然有 41 又 对称性质 42 概率积分 夹逼定理 即 所求反常积分 43 解 计算 所围成的平面闭区域 例 及直线 44 解 双纽线 求曲线 所围成的图形的面积 例 根据对称性有 在极坐标系下 由 得交点 面积 45 将直角坐标系下累次积分 化为极坐标系下的累次积分 解 练习 原式 46 解 47 计算 因被积函数 D2 例 分析 故 的 在积分域内变号 D1 48 二重积分的计算规律 再确定交换积分次 1 交换积分次序 先依给定的积分次序写
7、出积分域D的 不等式 并画D的草图 序后的积分限 2 如被积函数为 圆环域时 或积分域为 圆域 扇形域 则用极坐标计算 49 3 注意利用对称性质 数中的绝对值符号 以便简化计算 4 被积函数中含有绝对值符号时 应 将积分域分割成几个子域 使被积函数在 每个子域中保持同一符号 以消除被积函 50 例 计算 分析 从被积函数看 用极坐标系要简单些 但从积分域D的形状看 为宜 用却又以直角坐标系 在两者不可兼得的情况下 应以D的形状 来决定用什么坐标系 此题用直角坐标系 51 52 三 二重积分的换元法 设被积函数 在区域D上连续 若变换 满足如下条件 1 一对一地变为 D上的点 2 有连续的一阶偏导数 且雅可比行列式 53 基本要求 变换后定限简便 求积容易 54 例 解 所围成的闭区域 其中D为椭圆 作广义极坐标变换 55 故换元公式仍成立 56 例 解 令 则 即 57 故 四 小结 58 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分在极坐标系下的计算公式 注意使用对称性 注意正确选择积分次序 掌握交换积分次序的方法 恰当选择坐标系计算二重积分 注意选择的原则
