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1、 结构力学IStructuralmechanicsI 第3章静定结构的内力计算 东南大学 结构力学课程组制作 静定结构 在任意荷载下 未知力仅用静力平衡方程即可完全确定未知力数 独立静力平衡方程数超静定结构 未知力仅由静力平衡方程不能完全确定未知力数 独立静力平衡方程数重要性 是结构位移计算 超静定结构内力计算乃至整个结构力学课程的基础 3 1引言 要求 深入理解静定结构内力计算的原理熟练掌握静定结构内力计算的方法了解静定结构的特性和各类结构的受力特点几何组成分析与本章的关系 判断结构是否静定静定 几何不变且无多余约束提示分析途径 简化内力计算内力计算前先作组成分析 事半功倍 3 1引言 3
2、2 1隔离体平衡法隔离体 用截面切断若干杆件 将结构的一部分和其余部分分开隔离体平衡法 对隔离体应用平衡条件 列关于未知力的方程 组 解出未知力灵活性 隔离体可大可小 图3 1 大 整个上部结构 图3 1b 小 部分杆件 图3 1c 甚至一个结点 图3 1d e f 3 2静定结构内力计算的基本方法 c d e f 3 2静定结构内力计算的基本方法 关键 正确反映隔离体受力状态 不要遗漏外力 外力 分为两类 直接作用于隔离体的荷载其余部分对隔离体的作用力后一类对结构是内力 对隔离体是外力注意 分清二力杆和梁式杆分清不同支座对应的反力 表1 1 3 2静定结构内力计算的基本方法 方向 已知力 矩
3、 按实际方向未知力 矩 暂按正方向根据计算结果的符号确定其实际方向图3 1 FNEG EG杆E端的轴力FQAD AD杆A端的剪力MDA DA杆D端的弯矩FxA FyA 支座A在x方向和y方向的反力 3 2静定结构内力计算的基本方法 隔离体的平衡条件外力构成平面平衡力系 平衡条件为 Fx 0 Fy 0 M 0 3 1 或 Fx 0 MA 0 MB 0 3 2 其中A和B的连线不与x轴垂直 或 MA 0 MB 0 MC 0 3 3 其中A B C不共线 3 2静定结构内力计算的基本方法 结点法和截面法结点法 桁架和组合结构常用 隔离体只含一个铰结点 被切断的都是二力杆 图3 1d 汇交力系 平衡条
4、件为 Fx 0 Fy 0 3 4 图3 1e 隔离体只含铰结点A 两杆不都是二力杆 但梁式杆AD在无限接近A处被切断 可认为FQAD通过A MAD 0 隔离体所受外力仍为汇交力系 也可应用结点法 3 1d 3 1e 3 2静定结构内力计算的基本方法 重要 易错 不能遗漏剪力FQAD 截面法一般平面力系 用 3 1 3 2 3 3 求未知力 适用情况隔离体含多个结点 图3 1b c 或虽只含一个结点 但该结点为刚结点或组合结点 图3 1f 仅由本身平衡条件能求出全部未知力的条件未知力数 3没有三个未知力共点或相互平行也没有两个未知力的作用线重合 否则仅考虑隔离体本身是不够的还要用到其他隔离体的平
5、衡条件 3 1f 3 1c 3 2静定结构内力计算的基本方法 结点单杆和截面单杆单杆 二力杆 用一个平衡方程可求内力 结点单杆 二力未知 且不共线两杆均为单杆 图3 2a 1 2为单杆 三力未知 两杆共线第三杆为单杆 图3 2b 3为单杆 结点单杆内力的求法 向垂直于其余未知力的方向投影 3 2静定结构内力计算的基本方法 图3 2a 如结点不受荷载 FP 0 则单杆1和2均为零杆 如FP沿一个单杆作用 则另一单杆为零杆 图3 2b 如结点在垂直于非单杆1 2的方向无荷载 则单杆3为零杆 3 2静定结构内力计算的基本方法 确定零杆可简化桁架内力计算 图3 3a 1 6为零杆 受力与图3 3b相同
6、B处竖杆也为零杆 竖向反力为零 3 2静定结构内力计算的基本方法 截面单杆除一根二力杆外 其余共点 图3 4a 或平行 相交于无穷远点 图3 4b 例外 者 图3 4中的杆1 为单杆截面单杆内力的求法其余杆件共点 向公共点取矩其余杆件平行 向公垂线投影 3 2静定结构内力计算的基本方法 直杆荷载和内力的微分关系及增量关系内力正负号规定 图3 5a 轴力拉为正剪力顺时针为正弯矩下侧拉为正微分关系 图3 5b 增量关系 图3 5c FN Fx FQ Fy M M0 3 6 3 2静定结构内力计算的基本方法 有用的结论 用于直杆内力计算 作图和校核 轴向荷载只影响轴力 横向荷载只影响剪力和弯矩 力偶
7、荷载只影响弯矩剪力图的斜率 横向分布荷载的集度 但符号相反 弯矩图的斜率 剪力横向集中力作用处剪力图不连续但斜率不变 弯矩图连续但斜率改变无横向荷载作用时 剪力图和弯矩图为直线 剪力图平行 或重合 于杆轴 弯矩图一般为斜直线横向均布荷载下 剪力图为斜直线 弯矩图为抛物线 3 2静定结构内力计算的基本方法 关于隔离体及平衡方程的选取顺序意图 力求一方程一未知力 避免联立方程 图3 1a 求FyA和FyB 图3 1b Fy 0不好 MB 0求FyA 再用 Fy 0求FyB好 或由 MA 0求FyB 注意三根支杆都是截面单杆 一个隔离体常不够 求FNAD 图3 1e有6个未知力 MAD可用 MA 0
8、求解 其余暂无法求解 为避免联立方程 可按以下顺序 图3 1b 由 Fx 0求FxA MB 0求FyA 图3 1c 由 MC 0求FNEG 图3 1d FNEG已知 EA和ED为单杆 由 Fx 0求FNEA 图3 1e FNAE FNEA 由 Fx 0求FNAD AC杆不受轴向荷载 轴力不变 可在第2步求得FNEG之后 取图3 1c 由 Fx 0求FNCD 进而求得FNAD 3 2静定结构内力计算的基本方法 c d e f 3 2静定结构内力计算的基本方法 3 2 2叠加法叠加原理一组荷载产生的反应 内力 反力 变形 等于其中每一个单独产生的反应之和图3 6 条件 小变形 列平衡方程时可以忽略
9、变形 线弹性 应力与应变成正比 意义 将复杂问题分解为比较简单的问题 3 2静定结构内力计算的基本方法 叠加法作直杆的弯矩图图3 7a 将AB所受的力和力矩分为两组 杆端弯矩及与之平衡的一部分杆端剪力 图3 7b荷载及与之平衡的另一部分杆端剪力 图3 7c 图3 7 3 2静定结构内力计算的基本方法 图3 7b的M图为直线 端点值 杆端弯矩 图3 7e图3 7c的M图与代梁相同 图3 7f图3 7e和图3 7f叠加 得实际M图 图3 7d 结论 对于直杆段 在杆端弯矩图上叠加等代简支梁的弯矩图 就得到所求的弯矩图 M x Me x M0 x 3 7 3 2静定结构内力计算的基本方法 注意 叠加
10、是纵标代数相加 不是图形简单拼合 如果Me图不平行于杆轴 则M0图的基线倾斜 但它在杆轴上的投影不变 M0图的纵标仍 杆轴 不是 基线 其几何形状将改变 图3 7 分段叠加法 选控制截面 结点 集中力作用点 将结构分成若干段 计算控制截面的弯矩 作各段的Me图 直线 对有横向荷载作用的杆段叠加M0图 3 2静定结构内力计算的基本方法 按几何组成 静定结构可分为 悬臂式 以固定支座连接于地基不必先求反简支式 与地基按两刚片规则相连一般要先求反力三铰式 与地基按三刚片规则连接 或先按三刚片规则形成上部结构 一般要先求反力或拉杆的拉力复合式 重复应用以上规则复杂静定结构 不能按以上规则分析 3 3静
11、定结构内力计算举例 3 3 1悬臂式静定结构例3 1悬臂式刚架 图3 8a 解1 定性判断各杆无轴向荷载 FN图均为直线 且与杆轴平行或重合CB和BD只受均布荷载 FQ图为斜直线 M图为抛物线AB和DE无横向分布荷载 FQ图 杆轴 M图为斜直线 3 3静定结构内力计算举例 2 求控制点内力并作图 1 作轴力图取CB杆和DE杆为隔离体 得FNBC FNDE 0取BDE为隔离体 得FNBD 80kN取CBDE为隔离体 得FNBA 160kN作FN图 图3 8c 注意标正负号 2 作剪力图和弯矩图在自由端C和E FQCB MCB 0 FQED 80kN MED 0 3 3静定结构内力计算举例 取隔离
12、体同上 依次求得 水平杆弯矩以下侧受拉为正 竖杆弯矩以右侧受拉为正 FQBC 80kN FQDE 80kN FQBD 80kN FQBA 80kN MBC 160kN m MDE 80kN m MBD 240kN m MBA 80kN m在D左截断BD 取右边为隔离体 得FQDB 0在AB杆下端截断 取上部为隔离体 得MAB 320kN m 作FQ图 符号 和M图 受拉边 图3 8d e 3 3静定结构内力计算举例 3 校核方法 取计算中未用过的隔离体检查平衡条件是否满足 取结点B为隔离体 图3 8f 所有力和力矩均按实际方向画出 易见满足三个平衡条件 B 3 3静定结构内力计算举例 例3 2
13、悬臂式桁架 图3 9a 解将斜杆FN分解为Fx和Fy 图3 9b FN Fx Fy l lx ly FN l Fx lx Fy ly a 几何组成 从地基出发依次添加二元体C D E F G H 简单桁架 另见例3 6 内力计算用结点法 顺序 H G F E D C 与添加二元体相反 无须先求反力 悬臂式特点 3 3静定结构内力计算举例 计算中 未知力对应的都是结点单杆 1 结点H 图3 9c FNHF 0 FP FNHG 0 FNHG FP 2 结点G 图3 9d FP FyGF 0 FyGF FP FxGF FP FNGF FPFP FNGE 0 FNGE FP 3 3静定结构内力计算举例
14、 3 3静定结构内力计算举例 3 结点F 图3 9e FNFD FP FNFE FP 4 结点E 图3 9f FP FyED 0 FyED FP FxED FP FNED FPFP FP FNEC 0 FNEC 2FP 5 结点D和CFNDB 2FP FNDC FP FNBC FP FNAC 3FP 讨论 如果只求部分内力 用节点法明显繁琐 可用截面法 对非简单桁架 需将结点法和截面法结合起来 例3 10 用截面法求杆1 2 3 4的内力 作截面 取右边为隔离体 图3 9g 三杆均为单杆 MD 0 FP 2a FN1 a 0 FN1 2FP Fy 0 FN2 FP Fx 0 或 MC 0 FN
15、3 2FP 作截面 取图3 9h所示隔离体 三杆均为单杆 Fy 0 Fy4 FP FN4 FP 以上结果可用来校核结点法的计算 3 3静定结构内力计算举例 3 3 2简支式静定结构一般先由整体平衡条件求三个反力其余与悬臂式相似例3 3简支梁 图3 10a 作FQ M图 解求反力 FyA 6 5 4 2 3 12 6 11kNFyF 6 1 4 2 3 12 6 3kN 1 作FQ图 AB BC DF段无横向荷载 FQ图为水平线 DF段集中力偶不影响剪力 CD段受均布荷载 FQ图为斜直线 各控制截面FQ值为 3 3静定结构内力计算举例 FQA FyA 11kN FRQB 11kN 6kN 5kN
16、 FQD 5 4 2 3kN FQF FyB 3kN FQD 校核 作FQ图 图3 10b 2 作M图 取A C D F为控制截面 相应M值为 MA 0 MC 11 2 6 1 16kN m MD 11 4 6 3 4 2 1 18kN m MF 0作各段Me图 虚线 叠加M0图 得所求M图 图3 10c 3 3静定结构内力计算举例 三段中点的总弯矩 略 注意 M图在B有一尖点向下 在C和D直线与抛物线相切 在E左右二直线平行 体现微分关系和增量关系 讨论 作M图时 可取A B C D E F为控制截面 将梁分为5段 需要计算的控制值较多 在E点要计算MEL和MER 但Me图作出后只要在CD段叠加M0图 欲求最大弯矩 可用微分关系 先求FQ 0的截面 距A3 25m 再求该截面弯矩 Mmax 19 125kN m 3 3静定结构内力计算举例 例3 4简支式刚架 图3 11a 作内力图 解 1 求反力FxA qa FyA qa FyB 2qa 2 求杆端内力分别以CE CA和DB为隔离体 得FNCE 0 FNCA qa FNDB 2qa FQCE qa FQCA qa FQDB 0 MC
