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1、行列式 第1节矩阵概念的引入第2节排列及其奇偶性第3节行列式的定义第4节行列式的简单使用与对角线法则第5节行列式的计算与性质第6节行列式的降价处理 按行列展开 第6节行列式的降价处理 按行 列展开 降阶 降级处理是数学处理的基本思路之一 对n阶行列式也可使用这一思路 将n阶行列式变成n 1阶行列式进行处理 从而可层层降阶到低阶行列式进行处理 这便是行列式的按行或按列展开 一特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行 按列展开特殊行列式的计算 更一般地 如下行列式能否降阶处理 又因 综上 有 一般行列式的按行展开 其中 上面分析表明 一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式 此
2、行列式相当于在行列式 又因代数余子式可降阶为如下形式 相等或符号相反 综合前述知识知 Aij与Mij的有如下关系 即Aij可通过计算一个n 1阶行列式得到 下式表明了行列式可降阶处理 称上式为行列式的按第i行展开式 i 1 2 n 按第j列展开行列式 行列式的按行 列展开式表明行列式 某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和 对行列式d 当k i时 是d按第i行的展开 仍为d 当k i时 则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘 其结果是否仍为d 例 已知行列式 例 当k i时 不妨设i k 则 0 定理 设 例 计算行列式 问题 与化三角行列式相比 计算量有否变化 例 计算 问题 与化三角行列式相比 计算量有否变化 注意行列式按行 列进行展开的着眼点不在于减少计算量 而在于其理论意义 当然在手算具体确定的行列式时 当行列式的某些行与列有大多数0时 能有效化简计算 但这种做法却没有通用性 三特殊行列式的计算 n 1行乘 a1加到第n行 n 2行乘 a1加到第n 1行 余类推 1范德蒙德行列式 上边最后一式右边又是一个n 1级的范德蒙德行列式 从而有 归纳证明 2 结论可借助矩阵的按行 列展开用数学归纳法给予严格证明 从而等式右侧 等式右端
