《江苏省苏州市第五中学高三数学 数列中的最值（范围）复习学案 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市第五中学高三数学 数列中的最值（范围）复习学案 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1江苏省苏州市第五中学高三数学 数列中的最值（范围）复习学案 一、复习要点数列的最值（范围）问题主要考查的知识重点和热点涉及等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 项和公式问题常涉及求数列中基本量的最值（范围） 、参数的最值n（范围）等，通常需要结合函数、导数、不等式等知识该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想及分类讨论思想二、典型例题例 1.（1）设等差数列 的前 项和为 nanS 若 ， 则 的最大值为 ；4501S， 4 若 ，则 的最小值为 ；105,2SnS（2）已知等比数列 na，若 ，则 的取值范围是 43218a65a2变式 1：设 为实数，
2、首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，满足,ad1adnanS，则 的取值范围是_；450S变式 2：已知数列 满足 ，则 的最小值是 na113,2nana小结： 例 2. 已知首项为 的等比数列 不是递减数列, 其前 n 项和为 , 且 S3 + 32na *)(nSNa3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (1) 求数列 的通项公式；n(2) 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值. *1)(nnTSNnT3变式 1：已知数列 的通项公式为 ，若不等式 对 且na15()6nnanAaB*N恒成立，则 的最小值为 .6nBA变式 2：在等差数列 中， ， ，记数列
3、 的前 项和为 ，若na5216ananS对 恒成立，则正整数 的最 小值为 1512mSnNm小结： 三、课堂总结4一、关于本节教学内容的说明：数列的最值（范围）问题可能涉及到与导数、函数、不等式等知识综合一起考查主要考查的知识重点和热点 是数列的通项公式、前 n 项求和公式、等差数列和等比数列、函数的单调性、不等式性质、参数取值范围的探求等，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能数列知识与函数、导数、不等式等知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想方法，通常用到函数与方程思想、转化与化归思想及分类讨论思想，这就要求学生能够灵活运用数列
4、的性质与不等式的方法以及一些基本的数学思想方法去解决相关的问题二、例题、变式解答及相关说明：数列的本质是离散函数，数列的通项 ，前 n 项和 都可以看成是关于 n 的函数解anS析式 因此，含有 ， 的数列问题，特别是等差、等比数列问题，都可以转化成数列naS的基本量 来处理问题中涉及单变量问题可以转化为函数问题，而多变量1,ndq问题一方面可以通过减元转化为函数问题；另一方面，可以通过不等式的性质转化为不等式问题进行处理设计例 1，就是想通过对几个问题的处理，让学生体会如下一些问题：（1）本题主要考察等差、等比数列定义、基本量、通项、数列求和、函数与导数、不等式等基础知识，考察综合分析问题的
5、能力和推理论证能力；（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合函数与导数、不等式来解决，其具体解法有：建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；利用条件中的不等式关系确定最值例 1 解析：（1）（思路 1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为na1d， 所以 即450S， 1430,25,da而 ，建立平面直角坐标123,.ad413d 1aO1235d(,)A413ad5系 ，作出可行域 及目标函数 当直线 过可行1aOd1235,ad413ad413ad域内点 时截距最大，此时目标函数取得最大值 (,) 4（思路 2）设 ，于是11
6、13(23)(2)admadn， 1()n由 解得 所以 ，,32,3111(23)(2)534adad所以 的最大值是 44a设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ，na1d105,2S所以 解得 ，109,254,da13,2ad则 ，32()3(10)2nnSn令 ，则 ，令 得 或1()0fxx()fxx()0f23x（舍） ，所以020(,)323(,)()fx- 0 + 极小值 因为 ，所以 的最小值为 672067,48,9483SnS49（2）设等比数列 公比为 ，令 ，则 且na(0)q12am28q，1()aqm（思路 1） ，所以 ，228(1)4q且 4465221a
7、q令 ，23(0qttt且 且6则 ，2658(1) 32()(10)4tatttt且 且1当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时0t2ttt1t；6523a2当 且 时，令 ,因为 ，所以10t34t1()ft2 1()0tft在 和 上单调递减，所以 且 ，()yft,)(,0ft5()12ft此时 且 6520a6523a综上所述， 的取值范围是 2(,)(,0)3,)（思路 2） 且 且 ，所以 或 且 8mq21q24m832于是 24265 66() 1(0)3a m或 且1当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此0m41m 48时 ；令6523a2当 且 时， ，因为 ，82
8、64()f2 64()10mf所以 在 和 上单调递减，所以 且()yfm3(,8(8)16ff，此时 且 403f6520a6523a综上所述， 的取值范围是 65(,)(,0),)变式 1：解析：因为 ，4115113425(2)2SdSada所以 ，即 ，450S12()(a整理得 2130ad因为 为实数， 所以 关于 有实数解，所以 ，()1 221964(13)0d7即 ，21d解得 或 ，即 的取值范围是 32d(,23,)变式 2：解析：因为 ，1()nan所以 ，又当 时21221()()(2)n naan 1n符合上式，所以 ，于是 1333设 ，则 ，令 得 或()(0)
9、fxx 2()fx()0fx3（舍）所以 x(0,3)3(3,)()f- 0 +x 极小值 因为 ，所以当 或 时， 有最小值*nN5n6()fn因为 ，所以 的最小值是 56321,ana21例 1 还可以给出如下变式：1. 各项均为正数的等比数列 an中，若 a11， a22， a33，则 a4的取值范围是 .2. 数列 满足 ， ，且 =2，则na11,()nn(*)nN122013a的最小值为 20143. 已知等比数列 ，若 ，则前 3 项的和 的取值范围是 n2a3S4.设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为127a751,aq642,a1 的等差数列，则 的最小值是 ； 的
10、最大值是 q设计例 2，主要是让学生体会数列是一类定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数，是函数概念的继续与延伸，所以任何数列问题都蕴含着函数的本质和意义，具有函数的一些固有特性，所以要善于用函数的观点看数列问题；变式（2）主要是想利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值例 2. 解：（1）设等比数列 的公比为 ，因为 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列，naq8所 以 ，即 ，于是 ，又 不是递减数5342()SaSa5325314aqn列且 ，所以 ，所以等比数列 的通项公式为112qn1()()2nnna（2）由（1）得131,22()(),.nnnnS为 奇
11、数为 偶 数当 为奇数时， 随 的增加而减小，所以 ，此时 ，所以nn 132nS123nS；132506nS当 为偶数时， 随 的增加而增加，所以 ，此时 ，所n 2314nS413nS以 ，即 ；3410nS7102n综上所述，对于 ， ，数列 的最大项的值为 ，最小项的值*N56nSnT56为 .712变式 1：解析：（1）当 时， ，*17n且 151()()66nnna 当 为偶数时， ， 随 的增加而减小，所以7n且 6a；1832a 当 为奇数时， ， 随 的增加而增加，所以且 1()nna；17n（2）当 时， ，*5N且 115()()66nnna 当 为偶数时， ， 随 的增加而增加，所以且 nna9；2141342na当 为奇数时， ， 随 的增加而减小，所以5且 16nana；110n综上所述， ，maxmin3(),()2所以 ，所以 .,2BAiminax72BA变式 2： 解析： 由条件 得公差 ，从而 ，数列154d()43ndn的前 项和为 ，原不等式可化为na13nSn，记14585m 11()458fn因为 ，所以 为单调递减数列，()(094ffnn()f从而 .max1由条件得 ，解得 ，所以正整数 的最小值为 5.453m
