《概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 3随机变量函数的分布1 X是离散型随机变量2 X是连续型随机变量 2 在许多实际问题中 常常需要研究随机变量的函数 例如 测量圆轴截面的直径d 而关心的却是截面积 由于测量的误差 d为随机变量 S就是随机变量d的函数 在统计物理中 已知分子的运动速度X的分布 求其动能的分布 3 一般地 设y f x 是一元实函数 X是一个随机变量 若X的取值在函数y f x 的定义域内 则Y f X 也为一随机变量 4 1 X是离散型随机变量 设随机变量X的分布列为 则函数Y g X 是离散型随机变量 可能的取值是g x1 g x2 g xk k 1 2 n 则Y g X 的概率分布为 5 1 若g
2、xk 互不相同 则事件 Y yi g xi 等价于事件 X xi 从而Y g X 的概率分布为 6 2 若某些g xi 相同 比如g xi1 g xi2 g xil yi i 1 2 则事件 Y yi g xi 等价于事件 X xi1 X xi2 X xil 从而有 7 步骤 1 确定Y的取值y1 y2 yi 2 求概率P Y yi pj3 列出概率分布表 8 例2 3 1设随机变量X的分布列如下表 试求Y 2X 1和Y X 1 2的分布列 解 1 因为y 2x 1严格单调 所以yi i 1 2 5 互不相同 Y所有可能取的值为 1 1 3 5 7 故Y的分布列为 9 2 因为Y X 1 2的
3、取值分别为1 0 1 4 9 故Y的分布列为 10 例设X B 2 0 3 求下列随机变量的分布列1 Y1 X22 Y2 X2 2X3 Y3 3X X2 解X的概率分布为 则Y1 Y2 Y3的分布列分别为 11 例设X服从参数为 的泊松分布 试求Y f X 的分布列 其中 解易知Y的可能取值为 1 0 1 且有 12 2 X是连续型随机变量 设X为连续型随机变量 已知其分布函数FX x 和密度函数fX x 随机变量Y g X 要求Y的分布函数FY y 和密度函数fY y 步骤 1 由Y g X 的分布函数这里G x g x y 2 求导数得Y g X 的概率密度为fY y F Y y 注 解g
4、 x y时要考虑y的不同取值范围 13 例设随机变量 求X的线性函数的密度函数 解先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数 14 从而 求导数得 15 由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要性质 若随机变量 则 16 定理2 3 1设连续型随机变量X具有概率密度函数fX x 又设函数y g x 是x的单调函数 其反函数g 1 y 有连续导数 则Y g X 是连续型随机变量 其概率密度函数为 其中 17 证 1 g x 严格单调增加时 此时其反函数g 1 y 在 也严格单调增加 则 故 于是得Y的概率密度 18 2 g x 严格单调减小时 此时其反函数g 1 y 在 也严格单调减小 则 故 注意
5、 此时 19 于是得Y的概率密度 综合上述两种情况 定理成立 20 例设随机变量X的概率密度函数为 求随机变量Y X2的概率密度函数 解先求Y的分布函数FY y P Y y P X2 y 当y 0时 FY y 0当y0时 所以Y的概率密度函数为 21 例设随机变量 求 的密度函数 解X的取值范围为 0 1 从而Y的取值范围为 1 3 当1 y 3时 Y的分布函数为 22 由于x 0时 从而 因此当1 y 3时 而Y3是不可能事件 从而有 23 例设随机变量X的概率密度函数为 求的概率密度 解y ex单调可导 且其值域为y 0 反函数为x g y lny 所以 y 0时 故 24 例设随机变量X具有概率密度 求随机变量Y 2X 8的概率密度 解先求Y 2X 8的分布函数FY y 25 于是得Y 2X 8的概率密度为 26 例2 3 4设随机变量X具有概率密度 求Y X2的概率密度 由于 故当y 0时 FY y P Y y 0 解先求Y X2的分布函数FY y 当y 0时 FY y P Y y P X2 0 P X2 0 0 27 当y 0时有 于是得Y的概率密度为 28 特别地 若X N 0 1 其概率密度为 则Y X2概率密度函数为
