《圆锥曲线题型总结教学讲义》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆锥曲线题型总结教学讲义(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型运用的知识:1、中点坐标公式:,其中是点的中点坐标。2、弦长公式:若点在直线上,则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,或者。3、两条直线垂直:则两条直线垂直,则直线所在的向量4、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根,则。常见的一些题型:题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题题型三:动弦过定点的问题题型四:过已知曲线上定点的弦的问题题型五:共线向量问题题型六:面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八:角度问题问题九:四点共线问题问题十:范围问题(本质是函数问题)问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,
2、存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解:根据直线的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆过动点,如果直线和椭圆始终有交点,则,即。规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:题型二:弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线,。由消y整理,得 由直线和抛物线交于两点,得即 由韦达定理,得
3、:。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为:令y=0,得,则为正三角形,到直线AB的距离d为。解得满足式此时。题型三:动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为(II)设,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,即点M的坐标为,同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为,直线MN的
4、方程为:,令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:又,椭圆的焦点为,即故当时,MN过椭圆的焦点。题型四:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。 解:(I) ,且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点,则椭圆方程为:将点C代入方程,得,椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称,设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:,即,由消y,整
5、理得:是方程的一个根,即同理可得:则直线PQ的斜率为定值。题型五:共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M:于P、Q两点,且,求实数的取值范围。解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为:,由消y整理后,得P、Q是曲线M上的两点 即 由韦达定理得: 即 由得,代入,整理得 , 解之得当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或。总之实数的取值范围是。题型六:面积问题例题6、已知椭圆C:(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线
6、l的距离为,求AOB面积的最大值。解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。()设,。(1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。由已知,得。把代入椭圆方程,整理得,。当且仅当,即时等号成立。当时,综上所述。当最大时,面积取最大值。题型七:弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A、B两点。()若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求ANB面积的最小值;()是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。 ()依题意,点N的坐标为N(0,-p),
7、可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.()假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则.=令,得为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为,即抛物线的通径所在的直线.解法2:()前同解法1,再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而,()假设满足条件的直线t存在,其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有令
8、为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为.即抛物线的通径所在的直线。题型八:角度问题例题8、(如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:()求点P的轨迹方程;()若,求点P的坐标. 解:()由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b=所以椭圆的方程为 ()由得 因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在PMN中, 将代入,得 故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上. 由()知,点P的坐标又满足,所以 由方程组 解得 即P点坐标为问题九:四点共线问题例题9、设椭圆过点,且着焦点为()求椭圆
9、的方程;()当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上解 (1)由题意: ,解得,所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零,记,则且又A,P,B,Q四点共线,从而于是 , , 从而 ,(1) ,(2)又点A、B在椭圆C上,即 (1)+(2)2并结合(3),(4)得即点总在定直线上方法二设点,由题设,均不为零。且 又 四点共线,可设,于是 (1) (2)由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得 (3) (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上问题十:范围问题(本质是函数问题)设、分别是椭圆的左、右焦点。()若是
10、该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。解:()解法一:易知 所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值解法二:易知,所以,设,则(以下同解法一)()显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:由得:或又 又,即 故由、得或问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)设椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程
11、;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。解:(1)因为椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得
12、该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!1,侵权必究 联系QQ68843242 1,版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!侵权必究 联系QQ68843242 1