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1、第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式:未知要素用字母代替(1)点:坐标 (2)直线:斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线:含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧:(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。(2)核心变量的选取:因为解决
2、存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。(3)核心变量的求法:直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解。二、典型例题:例1:已知椭圆的离心率为,过右焦点的直线与相交于两点,当的斜率为时,坐标原点到的距离为。 (1)求的值 (2)上是否存在点,使得当绕旋转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的的坐标和的方程,若不存在,说明理由解:(1) 则,依题意可得:,当的斜率为时 解得: 椭圆方程为: (2)设, 当斜率
3、存在时,设 联立直线与椭圆方程: 消去可得:,整理可得: 因为在椭圆上 当时, 当时,当斜率不存在时,可知 ,则不在椭圆上综上所述:,或,例2:过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点,为其左焦点,已知的周长为8,椭圆的离心率为(1)求椭圆的方程(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由解:(1)由的周长可得: 椭圆(2)假设满足条件的圆为,依题意,若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内若直线斜率存在,设,与圆相切 即联立方程: 对任意的均成立将代入可得: 存在符合条件的圆,其方程为:当斜率不存在时,可知切线为若,则 符合题意若
4、,同理可得也符合条件综上所述,圆的方程为:例3:已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为和(1)求椭圆的方程(2)设椭圆与轴负半轴交点为,过点作斜率为的直线,交椭圆于两点(在之间),为中点,并设直线的斜率为 证明:为定值 是否存在实数,使得?如果存在,求直线的方程;如果不存在,请说明理由解:(1)依题意可知:可得:椭圆方程为:,代入可得:椭圆方程为:(2) 证明:设,线段的中点设直线的方程为:,联立方程: 化为:由解得: 且 假设存在实数,使得,则即因为在椭圆上,所以,矛盾所以不存在符合条件的直线例4:设为椭圆的右焦点,点在椭圆上,直线与以原点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭
5、圆的方程(2)过点的直线与椭圆相交于两点,过点且平行于的直线与椭圆交于另一点,问是否存在直线,使得四边形的对角线互相平分?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由解:(1)与圆相切 将代入椭圆方程可得:椭圆方程为:(2)由椭圆方程可得:设直线,则联立直线与椭圆方程:消去可得:同理:联立直线与椭圆方程:消去可得:因为四边形的对角线互相平分四边形为平行四边形解得:存在直线时,四边形的对角线互相平分例5:椭圆的左右焦点分别为,右顶点为,为椭圆上任意一点,且的最大值的取值范围是,其中(1)求椭圆的离心率的取值范围(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点,是双曲线在第一象限上任意一点,当取得最小值时,
6、试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)设由可得:代入可得: (2)当时,可得:双曲线方程为,设,当轴时, 因为所以,下面证明对任意点均使得成立考虑由双曲线方程,可得:结论得证时,恒成立例6:如图,椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆的方程(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得对于任意直线,恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:(1) 椭圆方程为由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得:点在椭圆上 椭圆方程为(2)当与轴平行时,由对称性可得:即在的中垂线上,
7、即位于轴上,设当与轴垂直时,则 可解得或不重合 下面判断能否对任意直线均成立若直线的斜率存在,设,联立方程可得:由可想到角平分线公式,即只需证明平分只需证明 因为在直线上,代入可得:联立方程可得:成立平分 由角平分线公式可得:例7:椭圆的上顶点为,是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点(1)求椭圆的方程(2)动直线与椭圆有且只有一个公共点,问:在轴上是否存在两个定点,它们到直线的距离之积等于1?若存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由解:由椭圆可知:为直径的圆经过 由在椭圆上,代入椭圆方程可得:椭圆方程为(2)假设存在轴上两定点,设直线 所以依题意: 因为直线与椭圆相切,联立方程
8、:由直线与椭圆相切可知化简可得:,代入可得:,依题意可得:无论为何值,等式均成立所以存在两定点:例8:已知椭圆的左右焦点分别为,点是上任意一点,是坐标原点,设点的轨迹为(1)求点的轨迹的方程(2)若点满足:,其中是上的点,且直线的斜率之积等于,是否存在两定点,使得为定值?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由(1)设点的坐标为,点的坐标为,则由椭圆方程可得: 且 代入到可得:(2)设点, 设直线的斜率分别为,由已知可得:考虑是上的点 即的轨迹方程为,由定义可知,到椭圆焦点的距离和为定值为椭圆的焦点 所以存在定点例9:椭圆的焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为
9、的直线过的焦点与交于,与交于(1)求椭圆及抛物线的方程(2)是否存在常数,使得为常数?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)设的公共焦点为 (2)设直线,与椭圆联立方程:直线与抛物线联立方程: 是焦点弦 若为常数,则 例10:如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为(1)求椭圆的方程(2)是否存在点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由解:(1)依题意可得: 当与轴垂直且为右焦点时,为通径 (2)思路:本题若直接用用字母表示坐标并表示,则所求式子较为复杂,不易于计算定值与的
10、坐标。因为要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出点及定值,再取判定(或证明)该点在其它直线中能否使得为定值。解:(2)假设存在点,设若直线与轴重合,则若直线与轴垂直,则关于轴对称设,其中,代入椭圆方程可得: ,可解得: 若存在点,则。若,设设,与椭圆联立方程可得:,消去可得:,同理:代入可得:所以为定值,定值为若,同理可得为定值综上所述:存在点,使得为定值三、历年好题精选1、已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过点,离心率为,过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是(1)求椭圆的方程(2)若在椭圆上的任一点处的切线方程是,求证:直线恒过定点,并求出定点的坐标(3)是否存在实数,使得恒成立?
11、(点为直线恒过的定点),若存在,求出的值;若不存在,请说明理由2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,是椭圆上的一点(1)求椭圆的方程(2)设分别是椭圆的左右顶点,是椭圆上异于的两个动点,直线的斜率之积为,设与的面积分别为,请问:是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由3、已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为和(1)求椭圆的方程(2)设椭圆与轴负半轴交点为,过点作斜率为的直线,交椭圆于两点(在之间),为中点,并设直线的斜率为 证明:为定值 是否存在实数,使得?如果存在,求直线的方程;如果不存在,请说明理由4、已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在上,且满足
12、(1)求点的轨迹的方程(2)过点作直线,与曲线交于两点,是坐标原点,设,是否存在这样的直线,使得四边形的对角线相等(即)?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由5、(2014,福建)已知双曲线的两条渐近线分别为, (1)求双曲线的离心率(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一、四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在请说明理由习题答案:1、解析:(1) 椭圆过点 ,再由可解得: 椭圆方程为: (2)设切点坐标为,直线上一点,依题意可得:两条切线方程为: ,由切线均过可得:均在直线上因为两点唯一确定一
13、条直线,即过定点,即点的坐标为(3)联立方程: ,不妨设 ,使得恒成立2、解析:(1)抛物线的焦点为 依题意可知: 椭圆方程为: (2)由(1)可得:,若直线斜率存在设, 到直线的距离 到直线的距离 联立方程: (*) ,代入到(*)可得: 或 当时,交点与重合,不符题意,代入到可得: ,即 3、解:(1)依题意可知:可得:椭圆方程为:,代入可得:椭圆方程为:(2) 证明:设,线段的中点设直线的方程为:,联立方程: 化为:由解得: 且 假设存在实数,使得,则即因为在椭圆上,所以,矛盾所以不存在符合条件的直线4、解析:(1)由可得为的中点,且 为的中垂线 点的轨迹是以为焦点的椭圆,其半长轴长为,半焦距 轨迹方程为: (2)因为 四边形为平行四边形若,则四边形为矩形,即 若直线的斜率不存在,则 联立方程:,即 故不符合要求 若直线的斜率存在,设 由 ,解得: 所以存在或,使得四边形的对角线相等5、解析:(1)由双曲线方程可知,渐近线方程为