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1、2020 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 理科数学 本试卷分第I 卷和第 II 卷两部分 第I 卷 1 至 3 页 第 II 卷 3 至 5 页 满分150 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘 贴的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 I 卷每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第II 卷用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答 若在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷和答题卡一并交回 第 I 卷
2、一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 若复数 z 2i 2 其中 i 是虚数单位 则复数z 的模为 1i A 2 B 2C 3D 2 2 2 设集合 A x x2 B x ylog 2 x 2 2 x 3 则A B x 0 1 A x 2 x 1B x 1 x 1C x 2 x 1 D x 1 x 1 3 已知等比数列 an 满足a1 1 4a2 a44a3 1 则 a2 8 A 1 B 111 44 C D 1616 y1 4 已知变量 x y满足约束条件xy1 则 2xy 的最大值为 yx1 A 2B 5C 6D 7 理科数
3、学第 1 页共 5 页 5 一个球体被挖去一个圆锥 所得几何体的三视图 如右图所示 则该几何体的体积为 A 5 C D B 33 6 明朝数学家程大位著的 算法统宗 里有一道著名的题目 3 2 3 正视图侧视图 一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大 小和尚各几丁 右图所示的程序框图反映了此题的 俯视图 一个算法 执行右图的程序框图 则输出的n 开始 A 25B 45C 60D 75 n 0 7 若 a b 为空间两条不同的直线 为空间两个不同的平面 则 a的一个充分条件是 m100n A a 且B a且 nn 1n C a b 且 b D a s3m 且 3 8 若实数 x y
4、z 满足 log 2 x log 3y 2 z 则否 s100 x y z 的大小关系是 A x y zB x z y 是 输出 n C z x y D z y x 9 已知点 A 2 1 和点B关于直线 l x y1 0 对称 斜率为k的直线 m结束 过点 A 交l 于点 C 若ABC 的面积为2 则k的值为 A 3或 1 B 0 C 1 D 3 33 10 已知斜率为k k0 的直线l过抛物线C x 2 2 py p 0 的焦点F 与抛物线C交于A B 两点 又直线 l 222 3 CD 则 k 的值为与圆 xy py 3 p 0 交于C D两点 若 AB 4 A 2B 2 2C 4D 8
5、 理科数学第 2 页共 5 页 11 已知函数 f x Asin x A0 0 的周期为 M m 0 N n 0 分别是函数f x 的 图像与 x 轴相邻的两个交点 点P 3 m an 在函数 f x 的图像上 且满足 a 2 2 MN PN 12 则 A 的值为 A 3B 2C 3D 2 12 已知函数f x a x2 ln xcos x aR 以下四个命题 2 当 ae时 函数f x 存在零点 当 a0 时 函数f x 没有极值点 当 a0 时 函数f x 在 0 上单调递增 当 a2cos1时 f x 0 在 1 上恒成立 其中的真命题为 A B C D 2020 届宁德市普通高中毕业班
6、第一次质量检查试卷 理科数学 第 II 卷 注意事项 用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分 第13 21题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 13 已知向量 a 1 2 b m 1m 若a b 则 a b 2 x a x 0 2 14 已知定义在R上的奇函数f x 满足 f x 4 f x 4 且 f x 3 x6 x 2 4 2 则 f 11 f 15 15 若 sin 2 sin2cos 则sin2 4 16 在棱长为 4 的正方体 ABC
7、DA1 B1C1 D1中 正方形ABCD所在平面内的动点P 到直线 AA1 理科数学第 3 页共 5 页 BB1 的距离之差为 2C1 D1 设的中点为E 则PE的最小值为 三 解答题 本大题共6 小题 满分70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 12 分 已知各项均为正数的数列 an 的首项 a11 前 n 项和为 Sn 且 Sn 1 Sn 2an21 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 求数列 b 的前 n 项和 T n n 1 an n 18 12 分 如图 矩形 ABCD平面 EBC AB1 2 EBC 且 M N 分别为 AB CE 的中点 3 1 证
8、明 MN 平面AED E 2 若BCBE 2 求二面角 EADB 的大小 19 12 分 A M D B C N ABC 的内角 A B C 的对边分别为a b c 且2b c2a cos C c 2 2 1 求A 2 若ABC为锐角三角形 D 为 BC 中点 求 AD 的取值范围 20 12 分 已知椭圆 C x2y2 1 ab0 的左 右焦点分别为 F1 F2 离心率为 1 过 F1 作 a2b 2 2 直线 l 与椭圆 C交于 A B两点 ABF2的周长为 8 1 求椭圆C的标准方程 2 问 ABF 2的内切圆面积是否有最大值 若有 试求出最大值 若没有 说明理由 理科数学第 4 页共
9、5 页 21 12 分 已知函数 f x x 2 eax 1 b ln x ax a bR 1 若 b0 曲线 f x 在点 1 f 1 处的切线与直线y2x 平行 求 a 的值 2 若 b2 且函数 f x 的值域为2 求 a 的最小值 请考生在第 22 23 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请写清题 号 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy 中 圆C x 1 2 y 1 2 1 以坐标原点O为极点 x 轴正半轴为 极轴 直线 l 的极坐标方程为 0 直线l交圆C于A B两点 P为AB中点 2 1 求点P轨迹的极坐标方程 2 若 AB
10、 OP 3 求的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 x 1 2 x 1 m 1 在R 上恒成立 2 1 求m的最大值M 2 若 a b均为正数 且a 1 M 求 a 2b 的取值范围 b 1 理科数学第 5 页共 5 页 2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学 理科 试题参考答案及评分标准 说明 一 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考 生的解法与本解法不同 可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则 二 对计算题 当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决 定后继部分的给分 但不得超过该部分正
11、确解答应给分数的一半 如果后继部分的解答有较 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 5 分 满分60 分 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 1 B2 A3 A4 B5 C6 D 7 D8 C9 B10 A11 C 12 D 二 填空题 本题考查基础知识和基本运算 每小题5 分 满分20 分 13 5 14 1 15 316 21 25 三 解答题 本大题共6 小题 满分70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题主要考查数列及数列求和等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与
12、方程思想 化 归与转化思想等 满分12 分 SnSn 2 12an 1 两式相减 得 17 解 1 由 Sn 12an 2 n Sn2 a n 1 an2 an 1an an 1an n 2 分2 又an 0 an 1an 1 n 2 3 分 2 当 n1时 S2S12a22且 a1 1 2 故 2a22a2 10 得 a21 a210 舍去 2 a2a1 11 4 分1 22 数列 a n 为等差数列 公差为 1 5 分 2 所以 an 1 n 6 分 2 111 21bn 1 2 n 8 由 及题意可得 n 1 n n1分 2 理科数学第 6 页共 5 页 所以 Tnb1b2b3bn 1
13、1 111 11 2 1 2 n 10 分 2334n 1 2 11 2n 分 12 n1n1 18 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想等 满分 1 证明 取DE 中点 F 分别连结AF FN 又 N 为 BC 中点 所以 FN CD FN 1 CD 1 分 2 因为矩形ABCD 中 M 为 AB 的中点 所以 AM CD AM 1 CD E 2 所以 AM FN AMFN 2分 所以四边形 AMNF为平行四边形 3 分 z 所以 AF MN 4 分 A 又因为 AF 平面 AED
14、MN平面 AED M 所以 MN 平面 AED 5 分 B 2 因为矩形ABCD平面EBC 矩形 ABCD 平面EBC BC AB BC E 所以 AB平面EBC 6 x 分 12 分 A M D B F C N D C y N 如图 以B 为原点建立空间直角坐标系Bxyz 则 B 0 0 0 A 0 0 1 D 0 2 1 E 3 1 0 7 分 因为 x 轴平面 ABCD 所以 n1 1 0 0 为平面 ABCD 的一个法向量 8 分 理科数学第 7 页共 5 页 设 n2 x y z 为平面 AED 的法向量 因为 AD 0 2 0 AE 3 1 1 所以 ADn20 得 2 y 0 A
15、En203xyz0 故可取 n2 1 0 3 11 分 则 cosn1 n2 n1n21 n1n22 由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角 E AD B 的大小为 12 分 3 解法二 1 取 CD 中点 F 分别连结 FM FN 又矩形 ABCD 中 M 为 AB 中 点 所以 AM DF AM DF A M D B F 所以四边形AMFD 为平行四边形 所以 MF AD 1 分 C N E 又 AD平面AED MF平面AED 所以 MF 平面 AED 2 分 因为 F N 分别为 CD CE 的中点 所以 FN DE 又 DE 平面 AED FN 平面 AED 所以 FN 平面 AED
16、 3分 又因为 MF FN F 所以平面 FMN 平面 AED 4 分 又MN 平面 FMN 所以 MN 平面 AED 5 分 H A G M D B F C N E 理科数学第 8 页共 5 页 2 过点 E 作EGCB 交 CB 的延长线于G 过 G 作GHDA 交 DA 的延长线于H 连结 EH 又因为平面ABCD平面EBC 矩形ABCD平面EBCBC 所以 EG平面 ABCD EG AH 又 EG GH G AH平面 EGH EHAH 所以 EHG 即为二面角 E ADB 的平面角 10 分 因为 ABGH1 GE3 所以 tanEHG3 11 分 由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角E AD B 的大小为 12 分 3 19 本小题主要考查正弦定理 余弦定理及三角恒等变换等基础知识 考查运算求解能力 考查 化归与转化思想 函数与方程思想等 考查应用意识 满分12 分 解 1 解法 因为2b c2a cos C 由正弦定理 得 2 sin B sin C2 sin A cosC 1 分 又 sin B sin A C sin A C 所以2 sin A cosC cos A
