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1、 乘法公式 1 平方差 完全平方公式 配方法 知识要点 1 平方差公式 a b a b a2 b 2 这就是说 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 这个公式就叫做乘法的平方差公式 2 平方差公式的特征 1 左边是两个二项式相乘 并且这两个二项式中有一项完全相同 另一项互为 相反数 2 右边是乘式中两项的平方差 即用相同项的平方减去相反项的平方 在学习平方差公式 时还应注意 公式中的a 和 b 可以是具体数 也可以是单项式或多项式 一定要认真仔细地对题 目进行观察研究 把不符合公式标准形式的题目加以调整 使它变化为符合公式标准的形式 3 完全平方公式 2 22 2abaabb 2
2、22 2abaabb 即 两数和 或差 的平 方 等于它们的平方和 加上 或减去 它们的积的2 倍 这个公式叫做乘法的完全平方公式 4 完全平方公式的结构特征 公式的左边是一个二项式的完全平方 右边是三项 其中有两项是左边二 项式中每一项的平方 而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍 只要符合这一公式的结构特征 就 可以运用这一公式 在运用公式时 注意防止发生 a b 2 a2 b2这样的错误 公式中的字母a b 既可以表示具体的数 也可以表示单项式或多项式等代数式 在套用完全平方公式进行计算时 一定 要先弄清题目中的哪个数或式是a 哪个数或式是b 5 公式的推广 222 ababab 典型例
3、题 例 1 如图 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形 ab 把剩下的部分拼成一个梯形 计算这两个图形面积 验证了公式 例 2 计算下列各题 22 11 22 x yx y 4 1 41 aa mnmn abab 2 1234612345 12347 77xx 1111mm 103103stst 44xyyx 22baab 2 22 ababab 22222222 111 224 ababababababab 22 22 22ababababab 2 222 222abcabcabbcac b a a bb a mnmn 7373 2424 xyxy 35 35 xyxy 13 2
4、567856805679 2 3 3 9 xxx 23 45 23 54 abababba 2244 ab ab abab 2222 1111 1 1 1 1 23410 L 2222222 1009998979621L 2432 2121 21211L 例 3 111 4322 422 xxxxx 当时 求的值 例 4 已知 20052007 2006 a 20062008 2007 b 20072009 2008 c 比较三者大小 例 5 2 24682011 123420091234200812342010 例 6 计算 2 11111 11111 2416256 2 n L 例 7 1
5、 a 2b 2 a2 4b2 2 3a 5 2 9a2 25 3 2x 2 4xy y2 4 3m2 2 12m2n 5 x2 xy x 2 6 49a2 81b2 9b 2 7 2m 3n 2 8 4 1 s 3 1 t2 2 9 4a2 4a 3 2a 1 2 10 a b 2 a b 2 11 a2 b2 a b 2 12 a b c 2 例 8 已知 a b 3 ab 8 求下列各式的值 1 a 2 b2 2 a 2 ab b2 3 a b 2 4 a 3 b3 例 9 例 10 已知 22 7 4abab 求 22 ab和ab的值 例 11 已知 1 3a a 求 2 2 1 a a
6、 和 4 4 1 a a 的值 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形 配成 完全平方 的技巧 通过配方找到已知和未知的联系 从而化繁为简 何时配方 需要我们适当预测 并且合理运用 裂项 与 添项 配 与 凑 的技巧 从而完成 配方 有时也将其称为 凑配法 最常见的配方是进行恒等变形 使数学式子出现完全平方 它主要适用于 已知或者未知中含有二次 方程 二次不等式 二次函数 二次代数式的讨论与求解 或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 a b 2 a 2 2ab b 2 将这个公式灵活运用 可得到各种基本配方形式 如 a 2 b 2 a b
7、 2 2ab a b 2 2ab a 2 ab b 2 a b 2 ab a b 2 3ab a b 2 2 3 2 b 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a 2 b 2 c 2 a b c 2 2 ab bc ca a b c 2 2 ab bc ca 结合其它数学知识和性质 相应有另外的一些配方形式 如 等等 222 2 111 2 2xxx xxx 配方法的应用 1 求代数式的最大或最小值 方法之一是运用实数的平方是非负数 零就是最小值 即 a2 0 当 a 0 时 a2的值为 0 是最小值 对于二次三项式 ax bx c 的配方如
8、下 提取二次项系 数 配一次项系数一半的平方 2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零 则每一个非负数都是零 有时就需要配方 3 用于因式分解 解一元二次方程 二次根式化简 恒定变形 求最值等 例 12 1 已知 22 2116xmxyy是一个完全平方式 则m 2 运算结果是 242 21m nmn的是 A 22 1 mnB 22 1 m nC 22 1 mnD 22 1 mn 3 若 224 2 22 2nnmmMnm 则M等于 A 0 B 2 m nC 2 2m nD 2 4m n 4 若 2 49xNx N为整数 是一个完全平方式 则N A 6 6 B 12 C 6 D 12 12
9、例 13 求下列代数式的最值 1 a2 2a 2 2 x2 5x 1 3 2x2 6x 1 例 14 解下列方程 1 x 4 x2 2xy y2 1 0 2 x 2 2xy 6x 2y2 4y 10 0 3 x 2 y2 2x 4y 5 0 解 1 x4 2x2 1 x2 2xy y 2 0 折项 分组 x 2 1 2 x y 2 0 配方 根据 几个非负数的和等于零 则每一个非负数都应等于零 得 0 01 2 yx x 1 1 y x 或 1 1 y x 2 x2 2xy y 2 6x 6y 9 y2 2y 1 0 折项 分组 x y 2 6 x y 9 y2 2y 1 0 x y 3 2
10、y 1 2 0 配方 22222 22 bbbb axbxca xxca xx aaaa 2 2224 2224 bbbacb a xca x aaaa 01 03 y yx 1 4 y x 3 配方的可化为 x 1 2 y 2 2 0 要使等式成立 必须且只需 02 01 y x 解得 2 1 y x 例 15 求下列方程的整数解 1 2x y 2 2 x y 2 2 5 2 x2 y2 4x 10y 16 0 3 x 2 6x y2 10y 25 0 解 1 2 1 3 1 2 1 1 1 y x y x y x y x 2 x 2 4x 4 y2 10y 25 13 添项 x 2 2 y
11、 5 2 13 配方 13 折成两个整数的平方和 只能是9 和 4 3 x 3 2 y 5 2 9 例 16 1 已知 2222 14a babab 求a b的值 2 若 a b为有理数 且 22 22440aabba 则 22 a bab 3 若 a b为有理数 且 a2 2ab 2b2 4a 8 0 则 ab 解 1 a2b2 2ab 1 a 2 2ab b2 2 a b 2 a 2 2 0 3 2 a 2 2ab 2b2 4a 8 a 2b 2 a 4 2 0 例 17 已知多项式 22 4614xxyy 求当x y为何值时 多项式有最小值 最小值是多少 例 18 求多项式 6454 2
12、2 yyxyx的最小值 例 19 求多项式 2x2 4xy 5y 2 12y 13 的最值 解 原式 2x2 4xy 2y2 3y2 12y 13 2 x2 2xy y 2 3 y2 4y 4 1 变式 若 2x2 4xy 5y 2 12y 12 0 则 xy 练习 一 选择题 1 下列等式不成立的是 A 2 22 396abaabb B 22 abccab C 2 22 11 24 xyxxyy D 2244 xyxyxyxy 2 下列各式中计算结果是 22 2abab的是 A 2 ab B 2 ab C 2 ab D 2 ab 3 计算 5225abba的结果等于 A 2 52ab B 2
13、 52ab C 2 25ba D 22 52ab 4 若 242 749baNab 则因式N A 2 7ba B 2 7ba C 2 7ba D 2 7ba 5 要使等式 22 abMab成立 代数式M应是 A 2ab B 4ab C 4ab D 2ab 6 要使 21 4 4 xmx成为一个两数和的完全平方式 则 A 2m B 2m C 1m D 2m 二 填空题 1 3 5 x 2 229 625 25 xxyy 2 22 abab 3 2 22 abab 2 ab 4 2 abc 5 若7 12 abab则 22 aabb 三 解答题 1 计算 2 21m 22 ababab 2 abc
14、 2 22 0 43mn 2 已知 1 10a a 求 2 1 a a 的值和 2 2 1 a a 的值 4 若 2 310aa 求 1 a a 的值 5 已知 2 410aa 求 8 4 1a a 的值 6 已知a b满足 2 1ab 2 25ab 求 22 abab的值 7 若 1 2x x 求 2 2 1 x x 4 4 1 x x 的值 8 求 2x 2 10 x 1 的最大或最小值 9 解下列方程 1 22 26100 xxyy 2 x 2 4xy 5y2 6y 9 0 3 5x2 6xy 2y2 14x 8y 10 0 解 3 2 5x 2 6xy 2y2 14x 8y 10 9x
15、2 12xy 4y2 x2 28x 16y 20 3x 2y 2 8 3x 2y 16 x2 4x 4 3x 2y 4 2 x 2 2 0 10 已知 a2 b2 c2 111 ab bc ca 29 求 a b c 的值 11 已知 a2 c2 2 b 2 ab bc 0 求证 a b c 配方 a b 2 b c 2 0 12 己知 xya xyb 求 22 xy 33 xy 44 xy 55 xy 13 已知 x y z均不为 0 并且 222333444 4923xyzxyzxyz 则 222 21 22 23 xyz 14 解析 由已知等式可得 222444333 492 23 0 xyzxyzxyz 即 222222 1 2 3 0 xxyyzz 因为 x y z均不为0 所以1x 2y 3z
