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1、高中数学选修 44坐标系与参数方程知识点总结第一讲一 平面直角坐标系1. 平面直角坐标系(1) 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系(2) 平面直角坐标系：定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称 为直角坐标系；数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向；坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y轴统称为坐标轴；坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建
2、立一一对应关系(3) 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点为 P，填表：两点间的距离公式中点 P 的坐标公式|P1P2| （x1x2）2（y1y2）2xx1x22yy1y222. 平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx（0） yy（0）的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二极坐标系(1) 定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及
3、其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2) 极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向 (3)图示2. 极坐标(1) 极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径， 记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为.有序数对(， )叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)(2) 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是(0， )，(R)，若点 M 的极坐标是 M(，)，则点 M 的极坐标也可写成 M(，2k)， (kZ)若规定0，02，则除极点外极坐标
4、系内的点与有序数对(，)之间才是一一对应关系3. 极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同， 设任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(，)(1) 极坐标化直角坐标xcos ，ysin .(2) 直角坐标化极坐标2x2y2，tan y（x0）.x三简单曲线的极坐标方程1. 曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程 f(，)0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(，)0 叫做曲线 C 的极坐标方程2. 圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心
5、位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)r(02)圆心在点(r，0)2rcos_()22圆心在点(r)，22rsin_(0)圆心在点(r，)2rcos_3() 22圆心在点(r3)，22rsin_(0)(2)一般情形：设圆心 C(0，0)，半径为 r，M(，)为圆上任意一点，则|CM|r，0COM|0|，根据余弦定理可得圆 C 的极坐标方程为220cos(0)2r20即r 2 = r2 + r2 - 2rr cos(q-q )0003. 直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为(1)(R) 或(R)(2)(0) 和(0)过点(a，0)，且与极轴垂直cos_a2
6、2a，过点2 ，且与极轴平行sin_a(0)过点(a，0)倾斜角为sin()asin (0)(2)一般情形，设直线 l 过点 P(0，0)，倾斜角为，M(，)为直线 l 上的动点，则在OPM 中利用正弦定理可得直线 l 的极坐标方程为sin()0sin(0)四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1. 柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(，)(0，02)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（，z）(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(， z)之间的一种对应关系把建立上述对应关
7、系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z) 叫做点 P 的柱坐标，记作 P(，z)，其中0，02，zRxcos (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为 ysin zz2. 球坐标系(1) 定义：一般地，如图建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为，这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，)表示， 这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的 坐标系叫做球坐标系(或空
8、间极坐标系)，有序数组(r，)，叫做点 P 的球坐标，记作P(r，)，其中 r0，0，0b0)的参数方程是是参轴上的椭圆数)，规定参数的取值范围是0，2)(2) 中心在原点，焦点在 y a2b2y2x2(ybsin xbcos 1(ab0)的参数方程是是参轴上的椭圆数)，规定参数的取值范围是0，2) a2b2(yasin (3) 中心在(h ， k) 的椭圆普通方程为（xh）2 （yk）2 1 ， 则其参数方程为a2b2xhacos (是参数)ykbsin 2. 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1. 双曲线的参数方程轴上的双曲线(1) 中心在原点，焦点在 xx2y2 xasec (1 的参数方程是为参数)，规定参数的取值范围为0，2)且a2b23ybtan ，22(2) 中心在原点，焦点在 yy2x2 xbtan 1 的参数方程是为参
