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1、. . .基于多重分形理论的图像分割毕业论文目 录摘要1Abstract21 引言31.1 研究背景31.2 国外研究概况31.3 本文的主要容及组织结构42 分形及多重分形52.1 分形概述52.2 分形维数72.3 多重分形概述92.4 本章小结123 图像分割123.1 图像分割概述133.2 图像分割方法综述143.3 本章小结184 基于多重分形的图像分割194.1 基于多重分形的图像预处理194.2 基于多重分形的图像分割224.3 本章小结24致 谢25.参考资料. . .1 引言1.1 研究背景近年来，分形作为一门新兴学科已经融入到自然科学的许多领域中。由于分形理论中的经典简单
2、迭代法可以生成各种复杂的自然景物，分形维数又可以作为目标物体复杂性地有效度量，因此可以认为分形与图像之间有着一种必然联系，而正是这种联系注定了分形理论必然会在图像处理应用中开辟它的新领域。目前，国外许多学者已经关注到这一热点，并开始将分形理论在图像处理中的应用作为他们研究课题。在图像处理领域，分形理论已经相继有了大量的应用报道。特别是用分形维数来刻画图像纹理的作法已经非常流行。利用分形的分析方法，人们可以采用各种不同的特征参数，包括分形特征和非分形特征相结合的方式来描述不同物体。此外，还可以依据分形理论的自相似原理特性，对图像特征进行分析。分形作为自然景物的描述模型，分形维数作为图形的形态特征
3、参数，已运用于图像分析，模式识别，图像压缩编码，图像滤波，图像去噪，图像分割，纹理分析，边缘检测等各个方面。图像分割是按照一定原则将一幅图像或景物分成若干个特定的，具有独特性质的部分或子集，并提取出感兴趣的目标的技术或过程。图像分割是一种重要的图像分析技术，在对图像的研究和应用中，人们往往只对图像的某些部分感兴趣，这些部分通常被称为目标或前景，他们一般对应图像中特定的，具有独特性之的区域，为了辨识和分析图像中的目标，需要将他们从图像中分离出去，在此基础上才有可能对目标进行进一步测量并对图像加以利用。Mandelbrot提出用自相似性质来描述复杂且不规则的形状，提出大自然的分形几何。之后分形理论
4、经过多年的发展，取得了巨大的成果。A.P.Pentland首先将分形用于图像的分割，从分割的效果来看，确实证明了他的假设：分形维是个稳定的特征量。也表明图像与实际景物有着对应关系，实际的分形利弊不变性也在图像中有了类似的表现。近年来作为分形升级理论的多重分形已经成为热点，基于多重分形理论的图像分割也成为研究的重点，并取得了一定的成果。1.2 国外研究概况20世纪80年代以来，分形渗透到了图像处理等信息科学的各个分支，分形维数也逐渐成为分形图像重力技术中的一种重要的度量工具。分形维数不仅可以度量图像表面的不规则程度和图像的复杂程度，而且它还具有多尺度多分辨率的变化不变性。分形维数的度量还可以充分
5、反映图像表面纹理的粗糙程度。基于以上，分形维数常常作为图像纹理的一个重要特征被广泛应用于图像分割，图像边缘检测等图像处理的各个方面。国外的分形及多重分形理论已经发展的比较成熟，而国直到90年代初才刮起一股分形热。1998年，黄宸使用小波变换的方法估计出了有噪声图像的分形维数，根据不同区域的图像分形维数不同的理论提取了图像的边缘。2001年，坤华提出了一种新的边缘检测方法，该算法的提出对于分形理论对图像纹理特征的提取的描述。2003年，健将小波理论和多重分形理论和数学形态结合起来，提出了一种新的图像边缘检测方法。随着全世界分形运动的蓬勃发展，众多学者对分形研究的越来越深入，多重分形理论逐渐被提到
6、了重要的研究地位上来。多重分形也被称为多标度分形，其概念首先由Mandelbrot和Renyi引入，可以说多重分形是与动力系统的奇异吸引子有关的另一类重要的分形集。多重分形不仅可以描述信号的奇异性结构，而且可以处理和分析一些难以建模的不规则图像，它是从系统的局部出发来研究物体的全局特性。随着多重分形理论的迅速发展，多重分形在科学研究领域也逐渐取得了广泛的应用。例如多重分形的自然图像分割技术以及纹理分析，信号与信息处理领域的的应用，雷达声纳信号处理方面的研究以及网络通信交通流量的分析等。1.3 本文的主要容及组织结构本论文整理、总结了近年来国外学术界在分形理论、多重分形理论以及图像处理领域的研究
7、成果和最新进展，较为系统的探讨了分形、多重分形的理论、算法以及他们在图像分割上的应用。本文主要容体现在第四章，利用多重分形分析的方法对图像进行去噪、边缘提取等预处理，然后结合图像分割的方法对图像进行操作和处理。第二章介绍了分形、分形维数、多重分形的基本概念以及经典的多重分形谱的计算方法，为后续的图像预处理及图像特征提取和图像分割奠定了理论基础并提供了算法依据。第三章介绍了图像分割的基本概念，基本算法如阈值法和边缘检测法等；还给出了例如Log、Canny等算子，为后面与分形理论的结合提供了很好契合点和理论基础。第四章介绍了基于多重分形的图像分割方法，是本文的主要工作。首先采用多重分形分析的方法对
8、图像进行去噪、边缘提取等预处理。编程实现了多重分形谱的计算，并在此基础上提取了图像的多重分形谱，以此对图像进行分割，并取得了较好的分割效果。2 分形及多重分形分形是一门崭新的学科，其思想新颖而独特。它是一个研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的数学理论工具，为处理非线性的系统问题提供了新思路和新方法。分形学是个新的方法论和科学观，它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学的影响相比拟，可以称作是科学的新里程碑。人们把它与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的三大重要发现。2.1 分形概述20世纪70年代，Mandelbrot首先将分形（fractal）这一名词引入到自然
9、科学领域中来。Fractal的愿意是不规则，破碎的意思，现在用它来描述物体表面的粗糙程度。大家熟悉的欧几里得几何学研究的是规则形状的图形，例如简单的圆，正方形，球等。所谓规则是指这些图形都具有连续而且光滑的边缘。但是，自然界里的规则图形毕竟是少数，我们经常见到的物体都是不规则的，甚至是支离破碎的。这些不规则的图形集合涉及到自然科学的各个领域，分形几何学就是为了更透彻的研究这些不规则的图形的自然规律才诞生的。分形理论的发展大致可以分为三个阶段：第一阶段为1925年以前。在该阶段发现了很多典型的分形集合，例如：1872年由法国数学家K.T.W.Weierstrass发现的Weierstrass曲线
10、；1883年德国数学家G.F.P.Gantor构造出的康托尔三分集；1904年瑞典数学家H.VonKoch发现了柯克雪花曲线；1915年波兰数学家W.Sierpinski在二维与三维空间绘出的谢尔宾斯基垫片等。第二阶段是从1926年到1975年。这一阶段更为系统，深入的升华了第一阶段的思想。在该阶段中，分形理论逐渐成形，分形的研究围也逐渐涉及到了数学领域的许多分支中。许多学者在此阶段取得了重大的研究成果：1967年，数学家B.B.Mandelbrot在其发表的“英国的海岸线有多长？统计自相似性与分形维数”论文中对海岸线的本质进行了独特的分析，该文章的发表不仅震惊了当时的学术界，而且也成为了Ma
11、ndelbrot学术思想的转折点。“分形”这个名词由此开始在科学界产生了影响，半个多世纪以来，人们对分形作了较为深入的研究，特别是在分形维数方面的研究已经获得了丰硕的成果。但是，这些重要的研究成果都还只局限于出数学理论的研究，未曾与其他科学发生联系。第三阶段是从1975年至今。该阶段分形几何在各个领域的应用取得了全面发展并形成了独立的学科。B.B.Mandelbrot在1977年发表的分形：形，机遇与维数及1982年发表的自然界的分形几何学专著标志着分形学的正式创立。分形集合也因此受到了各国学者的重视和公认，国际学术界出现了分形热的学术氛围。虽然国际上分形理论的研究已经取得了初步的成果，但是分
12、形的数学理论还不完备，还没有形成公理化的理论体系。尽管如此，人们还是接受到了分形理论的思想所赋予的丰富多彩，创造性的理论思维。分形理论的诞生对原有的微积分理论提出了新的改变要求，分形的应用迫切需要“分数阶的微积分理论”的诞生。“分数阶微积分理论”已经成为当代自然科学前沿研究课题的迫切要求。分形是专门用来研究不规则形状图形的。圆，直线，平面等欧几里得几何是人们较为熟悉的图形，而自然界中弯弯曲曲的海岸线，棉絮团似的云烟却无法再用熟悉的欧几里得几何来描述，Mandelbrot则提出了用分形来描述这些不规则的图形。最初的分形要求被研究物体具有严格的自相似性（即要求每个局部和整体都相似），这种早期的分形
13、概念是不确切的。因为完全自相似的分形只是一种数学抽象，在自然界中是很难发现的。经过不断的探索和研究，发展到现在的分形及多重分形概念已经对自相似性作了适当的修正和推广，这样不仅使得分形的概念更能接近现实的事物，而且它能够更加有效的被用来处理许多自然界中的非线性现象。分形理论出现的比较晚，目前大部分研究还处于理论研究阶段，它的数学理论和实际应用之间出在这一定的距离。分形理论研究的是由非线性系统产生的不光滑及不可微的几何形体。最早的分形定量刻画是由Mandelbrot作出的。他认为所谓分形就是Hausdorff维数严格大于其拓扑维数的集合。后来，K.Falconer研究认为，Mandelbrot对分
14、形的定量刻画是不完备的。K.Falconer提出了可以用生物学中对“生命”定义的方法来对分形进行刻画，即就是对分形给出一系列的特征性质，当目标具备这些性质时就可以认为它是分形。分形的性质如下：1）分形必须具有精细的结构，即在任意小的比例尺度可以包含一切整体，这一点类似于生物中的全息律概念；2） 这里研究的分形可以是几何图形，也可以使一种数理模型；3） 分形应该具有某种自相似性的形式，既可以是严格意义上的自相似性，也可以使统计意义上的相似性；4） 分形不仅可以同时具有形态，功能和信息三方面的自相似性，而且也可以只是其中某一方面的自相似性；数学理论中研究的分形又有无限嵌套的层次结构，而自然界中研究
15、的分形只是具有有限层次的嵌套，在进入到一定层次以后才会出现分形的规律；5） 分形的相似性具有级别上的差异。这里的级别是指生成元的使用次数或者放大倍数。级别愈接近的分形体越相似。级别相差越大，物体的相似性就越差。自然界中的分形体往往具有一个最大和一个最小的标度来表示，只有在无标度区域，对象才具有分形规律，否则，一旦越过无标度区，自相似性也就消失了；6） 在一般情况下，可以认为被研究物体的分形维数大于它的拓扑维数；分形的定义比较简单，它可以是一种递归方式。分形几何具有标度不变性的体征，即就是说在变化群作用下，分形体的形和量都不改变。虽然分形几何研究的图像是不规则的，但是在不同的尺度下观察分形体，却
16、可以得到尺度上的对称性。因此，可以说分形几何学时研究图像在标度变换群作用下不变性和不变量的学科。2.2 分形维数Mandelbrot认为分形具有形状、机遇以及维数三大要素。所谓形状，是指分形体所具有的支离破碎、参差不齐以及凹凸不平的不规则形状；所谓机遇则是指分形体产生的随机性，因为对一组任意给定的规则通过随机迭代就可以得到分形，分形产生的过程是随机的，而结果却是确定的：所谓分形的维数则是指能够描述分形体的一个重要特征量。传统意义上的维数时值的是能够描述对象中任意一个点的位置而需要的坐标数目。在这种意义下所指的维数通常是一个整数。而分形中所指的维数不一定是整数，也可以是分数。F.Hausdrff在1919年
