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1、专题三:“分类讨论”思想一、绝对值、平方根的分类讨论例1.若|a|=3,|b|=2 ,a+b= -5、-1、1、5 例2.如:若a2=9,b2=16 ,a+ b= -7、-1、1、7 二、方程、不等式函数中的分类讨论例1.已知(a-3)x6,求x的取值范围。例2.如果关于x的方程(m-2)x2-2x+ 1=0有实数根,求m的取值范围。 例3:求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标。(1) 当此函数为一次函数时,k=1,求得与x轴交点为(-1,0) ;(2) 当此函数为二次函数时,k1,=(k-2)2 ,0,即k2时,有两个交点(-l,0) 、(1/(1-k) ,0) ;=0,即k=
2、2时,有一个交点(-1,0) ;0,即(k-2)20,不存在k的取值。三、针对几何图形的形状进行分类讨论例1.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12,则等腰三角形的顶角为( D )。A.30 B.60 C.150 D.30或150例2.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 4或5 .例3在ABC中,AB=6,AC=4,D是AB边上的一点,且AD=2,E是AC边上的一点,当AE= 时,ABC和ADE能相似。四、 针对几何图形的位置进行分类讨论1.与线段有关的问题:例:线段AB=7cm,在直线AB上画线段BC=3cm,则线段AC= 4cm或10cm .2. 与等腰三角形有
3、关的问题:例:已知平面直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,-3),试在坐标轴上找一点P,使PAB为等腰三角形。求出P点的坐标。X轴上:y轴上: 3.与直角三角形有关的问题:例:在平面直角坐标系中,点的坐标为(1,1),点的坐标为(11,1),点到直线的距离为,且是直角三角形,则满足条件的点有 8 个4.与圆有关的问题,如:点与圆、直线与圆、两圆的位置关系(1)半径分别为10、17的两圆相交,公共弦长为16,求圆心距 9、21 。(2)点M到o的最长距离为5,最短距离为1,则圆的半径为 2、3 。(3)o半径为10cm,弦ABCD,AB=12cm CD=16cm,则AB和CD的距离为 2、1
4、4 cm。(4)相切的两圆半径分别为3cm和2cm则两圆的圆心距为 1、5 cm。五、由于动点引起的分类讨论例1、AB垂直OB、AC垂直于OC,A=50,点P是圆上异于B、C的一动点,则BPC的度数是 65或115 。例2:如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90度,AB=12cm,BC=9cm,DC=13cm,点P是线段AB上的一个动点,设BP为xcm,三角形PCD的面积为ycm.(1)求AD的长(2)求y与x之间的函数关系式,请求出当x为何值时,y有最大值,最大值为多少。(3)在现段AB上是否存在点P,使得三角形PCD是直角三角形,若存在,求出x的值,若不存在,请说明理由解:(1)作
5、DE垂直于BC,于E点,所以AD=4(2) 设BP为x,y=-x+54,0x12,当x=0时,y取的最大值为54cm2(3)PCD为直角三角形存在两种情况,DPC=900, APDBCP,所以X=6, APD=BPC=450,此情况不存在P1DC=900,所以X=综上所述,当x=6,或x=时,PCD为直角三角形课堂作业:1、关于x的方程有实数根,则k的取值范围是( A )A B. C.k2时,2x8,x4.综上,x或x4.3如图,在平面直角坐标系xOy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4),连接OA,若在直线a上存在点P,使AOP是等腰三角形,那么所有满足条件的点P的坐标是(D
6、)A(8,4)B(8,4)或(3,4)C(8,4)或(3,4)或(2,4)D(8,4)或(3,4)或(2,4)或答案解析点A的坐标为(3,4),OA5.当APAO时,可知P1(2,4),P2(8,4),当OPOA时,可知P3(3,4),当POPA时,设POPAm.有(m3)242m2,m,m3,P4,故选D.4矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分,则这个矩形的面积为多少cm2?(C)A4 B12 C4或12 D6或8答案解析如图,S矩形1(13)4;如图,S矩形3(31)12,故选C.5若正比例函数y2kx与反比例函数y(k0)的图象交于点A(m,1),则k的值是(B)A
7、或 B或C. D.答案解析A(m,1)代入y中,得mk,代入y2kx中,得2k21,k2,所以k.6一个等腰三角形的一个外角等于110,则这个三角形的三个角应该为_答案70,70,40或55,55,70解析当等腰三角形的底角的外角等于110时,其底角为70,顶角为18070240;当等腰三角形的顶角的外角等于110时,其顶角为70,底角为55.7如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ADAB6,BC14,点M是线段BC上一定点,且MC8.动点P从C点出发沿CDAB的路线运动,运动到点B停止在点P的运动过程中,使PMC为等腰三角形的点P有_个答案4解析当MC为底边时,MC的中垂线交C
8、D于一点P,该点能满足PMPC;当MC为腰时,分别以C、M为圆心,MC长为半径画圆,C与CD交于一点P,M与AB、AD各有一个交点,因此,满足条件的点P有4个8在ABC中 ,ABAC12 cm,BC6 cm,D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1 cm的速度沿BAC的方向运动,设运动的时间为t秒,过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍,那么t的值为_答案11或13解析当0t12时,点P在AB上,2(t3)123(12t),t11;当12t24时,点P在AC上,23(24t)312t,解得t13.9.平面上A、B两点到直线l的距离分别是5与3,则线段AB的
9、中点C到直线l的距离为 4或1 。10.矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分,则这个矩形的面积为12或411(2010上海)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE2,EC1,如图所示把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为_答案1或5解析题目里只说“旋转”,并没有说顺时针还是逆时针,而且说的是“直线BC上的点”,所以有两种情况如图所示:旋转得到F1点,则F1C1;旋转得到F2点,则F2BDE2,F2CF2BBC5.12如图,点A、B在直线MN上, AB11 cm,A、B的半径均为1 cm,A以每秒2 cm的速度自左向右运动,与此同时,B的半径也不断增大
10、,其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r1t(t0),当点A出发后_秒两圆相切答案3或或11或13解析两圆相切可分为如下四种情况:当两圆第一次外切,由题意,可得112t11t,t3;当两圆第一次内切,由题意,可得112t1t1,t;当两圆第二次内切,由题意,可得2t111t1,t11;当两圆第二次外切,由题意,可得2t111t1,t13.所以,点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切13(2010柳州)如图,AB是O的直径,弦BC2 cm,F是弦BC的中点,ABC60.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着ABA方向运动,设运动时间为t(s)(0t3),连接EF,当t值为多少时,
11、BEF是直角三角形解AB是O的直径,ABC60,C90,AB2BC4.当BFE90时,F是BC中点,BF21.在RtBEF中,B60,BE2BF212,AE422.又AE2t,2t2,t1.当BEF90时,在RtBEF时,BEBF,AE43,2t3,t1.75.同样,当t1.752.25时,BEF90.综上,t1或1.75或2.25.14(2011南通)已知A(1,0),B(0,1),C(1,2),D(2,1),E(4,2)五个点,抛物线ya(x1)2k(a0),经过其中三个点(1)求证:C、E两点不可能同时在抛物线ya (x1)2k(a0)上;(2)点A在抛物线ya (x1)2k(a0)上吗?为什么?(3)求a和k的值解(1)证明:将C,E两点的坐标代入ya (x1)2k(a0),得解得a0,与条件a0不符,C、E两点不可能同时在抛物线