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1、例谈小学数学教学中的抽数学思想是数学发生、发展的根本，是探索、研究数学所依赖的基础，也是数学教学的精髓。提到数学思想，我们就会想到是转化、数形结合、对应、函数、分类等。课标（2011年版）经过专家组讨论，明确了数学的“基本思想”主要有数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想，因为这些思想既是数学产生与发展所依赖的思想，也是学习数学以后具有的思维能力。本文想结合教学实践谈谈对数学抽象的理解。一、对于数学抽象的理解多角度数学是一门抽象的学科，无论概念、运算律还是公式等都是高度概括的结果。数学抽象就是把与数学有关的知识引入数学内部。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学
2、学科。如1、2、3、4等数是从具体实物抽象的结果，a-1、a、a+1这三个连续的自然数（aN且a1）也是从大量确定的实例中抽象出来的结果，点、线、面、体也是抽象出来的。那么对于数学抽象可以从哪几个维度去理解呢？我认为数学抽象从教学内容上分可以分为概念抽象、关系抽象、规律抽象和方法抽象等。1概念抽象概念抽象从教学内容分包括：数的抽象、图形的抽象、概念、法则、定律的抽象以及规律的抽象等。经历数的抽象过程：“2”是由“2个苹果、2支笔、2粒扣子、2张桌子”等具体实物抽象出来的；分数是测量或者分东西得不到整数的情况下产生的；负数表示意义相反的量，从生活中的温度计中的零下5、电梯的地下2层、珠穆朗玛峰的
3、海拔高度和吐鲁番盆地的海拔高度、工资卡收入和支出的钱数等实例抽象出负数和整数表示的量是一样的，只不过意思相反。经历图形的抽象过程：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，这句话中道出了几何图形也是抽象出来的。如前面提到的点、线、面、体都是从生活中抽象出来的；像毛巾的形状、课桌的形状、窗户的形状，有四条边，对边相等，四个角都是直角就是长方形；而直角三角形、等边三角形、锐角三角形、等腰三角形、钝角三角形等都属于三角形，它们是三角形的其中一种情况。到底什么是三角形？由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫三角形。什么是圆？这个概念是通过摸一摸、折一折、描一描、量一量，让学生建立对圆的直
4、观认识，是脱离了生活中的光盘、井盖、车轮子等具体实物的物理属性而对形状进行抽象的结果。在小学生的世界里，认为同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。圆在生活中普遍存在，它是轴对称图形和中心对称图形；圆面积的计算体现了化曲为直的思想。等到初中在抽象出：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合。经历概念的抽象过程：封闭图形一周的长度叫做周长；物体表面或平面图形的大小叫做面积；含有未知数的等式叫方程。这些概念本身只是描述性的定义，让学生会背诵就理解了吗？不是的，需要让学生经历抽象的过程。“平均分”这个概念的学习是二年级学习的，需要老师举多个例证：l 把8朵花放在2个花瓶里，每个花瓶里放4
5、朵，每瓶插得同样多就是平均分；l 把9个苹果分给3个人，每个人分3个，每人得得同样多就是平均分；l 把50本数学书分给50个人，每人得到1本，每人得得同样多就是平均分。老师给学生举了多个例子之后，学生就能感悟：分什么都可以，分多少份都行，只要每一份同样多就是平均分。“什么是周长？”先让学生描一描实物（跑道一圈、树叶一周、五角星外围一周、相框一周）；接着让学生用尺子量一量、用细绳子围一围；让学生感悟周长就是从起点再回到起点这一周的长度，为什么强调封闭图形？像角这类的图形没有周长是因为它不封闭，实际上也可以从不封闭的图形不能从起点再回到起点来解释。怎么计算周长？就是顺边加，周长就是长度单位个数的累
6、加，周长是可以度量的。方程是小学阶段接触的最为抽象的概念。方程是为寻求未知量和已知量之间的联系，把未知量先等同于已知量，进行相关运算，并形成等量关系，进而解答出未知量。教学中为学生提供较为丰富的生活事件，引导他们不断地经历提取等量关系、列方程的过程，然后让学生面对方程，赋予它更多现实含义。数学源自生活，又回归生活。这样学生才能接受这个概念，也在慢慢体会方程是表示一类具有等量关系的模型。经历计算算理的抽象过程：对于计算教学，“理解算理，掌握算法”是重中之重。让学生体会算理直观和算法抽象的过程。以数的加减法为例，整数加减法、小数加减法和分数加减法，我们都给学生提供直观模型：小棒、方格纸、人民币等，
7、让学生体会计数单位相同才能相加减。经历计算算法的抽象过程：在学习万以内数的加法时，老师给学生出几个算式，让学生知道第一步要相同数位对齐，逐步体会“个位满十向十位进1，十位满十向百位进1，百位满十向千位进1”，当然也包括连续进位的例子。学生有了这些实例的体验和感悟，就能抽象出“哪一位满十就向前一位进1”的结论。这个抽象过程运用了数学推理中的合情推理。经历规律获得的抽象过程：探索规律在第一学段和第二学段都涉及，课标（2011版）对于第一学段的要求是“发现给定的事物中隐含的简单规律”；对于第二学段要求是“探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势”，同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算
8、律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。探索规律既是一个发现关系、发展思维的过程，也是经历规律获得的抽象过程。探索规律包括数的规律、形的规律、式的规律等，都是用已知推想未知。如：用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律,拼成若干个图案。 则第4个图案中白色地砖有( )块。这里面的关系是相邻两个图形之间的白色地砖相差4。找到了规律，就能推知第10个图案、第20个图案或者更多图案中白色地砖的块数，这就是抽象概括的价值。2.关系抽象小学数学是一门关系学科，包括数量关系、图形关系和随机关系。数与数之间的关系有大小关系、相差关系、比率关系等。如王阿姨买了2千克梨，买了4千克苹果。那么梨比苹
9、果少2千克，苹果比梨多2千克；买的苹果是梨的2倍，梨是苹果的；苹果和梨的比是2:1。这里倍数、份、分数和比有着密切的联系，它们的本质是比率关系。在数与代数这个领域，除了数之间的关系，还有数量关系。加、减、乘、除四种运算体现着不同的数量关系。以乘法为例，随着知识的丰富、年级的升高；认识了单价、数量、总价之间的关系，理解了速度、时间、路程之间的关系，也掌握了工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，其实它们都是求每份数、份数和总数之间的关系，也是乘法模型。求一个数的倍数、面积、组合图形的面积等都是乘法的原型，这是一个循序渐进、逐步抽象的过程。在图形与几何领域，图形之间从是否相等可以分为全等关系或相似
10、关系；从图形之间的内在联系角度可以分为包含关系、交叉关系等。图形经过平移和旋转等运动可以使位置关系变化或者形成新图形。课标（2011版）附录中的第15个案例：图4中哪些图形通过平移可以互相重合?图4其中小燕子、不规则图形通过平移可以互相重合，两个笑脸通过旋转可以得到。在平面图形中，长方形、正方形和平行四边形都是四边形，它们之间具有怎样的关系呢？正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。可以用下图表示它们之间的关系：除此之外，在统计与概率领域中还有随机关系，让学生用不确定的思维方式来考虑问题。如摸球实验，盒子里有5个大小均匀的球，其中有4个白球、1个黄球。任意从中摸一个，可能是黄球，也可能
11、是白球；随着摸的次数增加，摸到白球的可能大，摸到黄球的可能小。3.思想方法的抽象由“数学抽象的思想”派生出来的下一层次的思想包括：分类、集合、数形结合、“变中有不变”、符号表示、对称、对应、有限与无限的思想等。我们在学习知识时，要重视过程，习得方法，渗透思想。概念的学习离不开分类；数的认识和计算的学习离不开分与合；平面图形面积的学习离不开转化等。分类是一种重要的数学思想方法。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。分与合也是一种重要的思想方法。数的认识中有分与合的
12、思想。如1234是由1个千、2个百、3个十和4个一组成的，10.34是由1个10、3个0.1和4个0.01组成的，是由7个组成的数的计算也是如此，计算1234，就是把100个4、20个4和3个4合起来；除数是一位数的除法，先分整捆的，再分单根，最后把分的结果合起来。计算中也运用了分与合的思想。算式如下：1234 1412 422=（100+20+3）4 =14（10+2） =（40+2）2=1004+204+34；=1410+142 = 402+22=400+80+12 =140+28 =20+1=492 =168 =21平面图形面积的学习离不开转化。长（正）方形面积的计算方法是利用小的面积单
13、位密铺得到的，每行的个数乘行数就是面积；接下来学习的平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、圆的面积等都是通过转化成已学过的图形，在保证等积变形的基础上获得新图形面积的计算方法。除此之外，应用意识这个核心概念还谈到：认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决；在知识与技能目标中提到：经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。可见在数学学习中，处处离不开抽象。二、对于数学抽象的分类有层次数学抽象从认知层面可以分为三个层次：抓
14、住事物特征、语言表达；抓住事物本质、符号表达；抓住事物关联、模型表达。层层深入，共同作用完成学生对概念的深入理解和掌握。如对周长、面积、体积本质的理解可以用语言来表达：长度是长度单位个数的累加；面积是面积单位个数的累加，体积是体积单位个数的累加，让学生体会度量的思想。 乘法分配律的抽象既可以用语言表达、用符号表达，也可以用模型表达。两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变语言表达； (a+b)c= ac+bc符号表达；至于模型表达，我感觉可以用如下的面积和来表示：让学生体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，这虽然是第三学段的要求，但在第一、二学段是可以适
15、当渗透。谈到模型，我们都知道方程表示一类具有等量关系的模型；函数是表示一类具有变量关系的模型。如正比例的意义的学习通过学生能理解的多个素材获得了对概念的抽象过程，正比例也可以用三种抽象来表达：语言表达：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值也就是商一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。解析式表达（符号表达）：图像表达：我们要根据学生的认知特点和接受程度，让学生的抽象概括能力有层次，在循序渐进中获得对概念的丰富理解。三、对于数学抽象的实践有意识小学生受自身思维和认识水平的制约，在学习中必须借助感性认识才能实现对数学概念、公式、数量关系、图形关系、现实问题等的掌握，因此教师需要精心设计活动，有必要让学生经历知识的形成过程，了解知识的来龙去脉，感受概念的抽象概括历程。对于抽象的数学知识，可以借助教具的演示、多样化学具的操作，让抽象知识形象
