《高等数学 教学课件 作者 2版 建工类李天然 微积分基本公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 教学课件 作者 2版 建工类李天然 微积分基本公式（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 定积分定义 4 定积分的性质 1 分割 2 定积分的思想和方法 曲边梯形的面积 曲边梯形面积的负值 3 定积分的几何意义 A 表示各部分 面积的代数和 复习 近似 取和 求极限 x轴上方的取正号 x轴下方的取负号 2 2 则 则 设M及m分别是函数f x 在区间 a b 上 的最大值及最小值 连续 使 如果函数f x 在闭区间 a b 上 3 5 2微积分基本公式 一 变上限的定积分 即 则称之为积分变上限函数 就一定有一个数 与之对应 即得一个新函数 dt 4 二 积分上限函数的性质 定理1 则积分上限函数 是 并且它的导数 证 的改变量为 如果f x 在区间 a b 上连续 dt
2、5 由积分中值定理得 即 6 解 解 解 例1 求 已知 7 求 解 令 则 解 例4 已知 令 8 解 例6 已知 求 9 解 分析 这是型不定式 求 应用洛必达法则 例7 10 例8 设f x 在 a b 上连续 且 则 解 对所给条件两边关于x求导得 令 得 88年考研题 解 95年考研题 11 证 令 设 在 上连续 且 证明 在 上只有一个解 例10 所以 该函数在 0 1 上至多有一个根 由零点定理知 该方程在 0 1 内至少有一个根 12 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数 则积分上限函数 dt 之间
3、的联系 dt 13 实例 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 设某物体作直线运动 上t的一个连续函数 段时间内所经过的路程 其中 14 三 牛顿 莱布尼茨公式 定理3 微积分基本公式 一个原函数 则 证 即 则 故有 dt dt dt 令 则 15 微积分基本公式表明 注意 求定积分的问题转化为求原函数的问题 dx 一个连续函数在区间 a b 上的定积分 等于它的 任意一个原函数在区间 a b 上的增量 当a b时 dx 仍成立 16 求下列定积分 1 原式 解 2 原式 例1 17 解 原式 d dx dx 18 解 解 当x 0时 的一个
4、原函数是 dx 面图形的面积 面积 例3 19 解 dx dx 注意 所给函数与积分区间的关系 dx 20 解 说明 原式 即有有 限个第一类间断点时 牛顿莱布尼兹公式仍成立 但需可加性 若是第二类间断点 该公式不成立 如 dx dx 显然错误 21 解 dt dt dt 22 例8 设 求 在 0 1 上的最大 值和最小值 解 则最小值为 最大值为 23 例9 一汽车以每小时36公里的速度行驶 到某处需要 减速停车 设汽车以等加速度a 5m 刹车 问从 开始刹车到停车 汽车驶过多少距离 解 当t 0时 汽车速度为 km h m s 刹车后汽车减速行驶 其速度为 汽车停住时 则 得 则汽车行驶的距离为 即汽车刹车后 需驶过10米才能停住 24 3 微积分基本公式 1 积分上限函数 2 积分上限函数的导数 四 小结 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间 dt dx 注意条件 的关系 dt
