《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第五节 函数的连续性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第五节 函数的连续性（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章函数极限连续 第五节函数的连续性 一 连续函数的概念 二 连续函数的基本性质 三 闭区间上连续函数的性质 四 函数间断点及其分类 一 连续函数的概念 定义1设函数y f x 在x0的一个邻域内有定义 则称函数y f x 在x0处连续 或称x0为函数y f x 的连续点 且 记 x x x0 且称之为自变量x的改变量或增量 记 y f x f x0 或 y f x0 x f x 称为函数y f x 在x0处的增量 那么函数y f x 在x0处连续也可以叙述为 定义2设函数y f x 在x0的一个邻域内有定义 如果 则称函数y f x 在x0处连续 若函数y f x 在点x0处有 则分别称函
2、数y f x 在x0处是左连续或右连续 由此可知 函数y f x 在x0处连续的充要条件可表示为 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左 右连续 若函数y f x 在开区间I内的各点处均连续 若函数y f x 在闭区间 a b 上连续 则理解为除在 a b 内连续外 在左端点a为右连续 在右端点b为左连续 定义1表明 函数在某点连续含有三层意思 1 它在该点的一个邻域内有定义 2 极限存在 3 极限值等于该点处的函数值 则称该函数在开区间I内连续 函数y f x 在x0处连续的几何意义是 函数y f x 的图形在点 x0 f x0 处不断开 函数y f x 在 a b 连续的几何意义是 函
3、数y f x 的图形在 a b 内连绵不断 证明函数y f x 在x0处连续 通常是证明 若x0是分段函数y f x 的分段点 一般应该通过考察它在x0左 右连续性加以确定 例如 因此 函数f x c g x x在内连续 例1证明函数y sinx在其定义域内连续 证任取x0 则因 y f x0 x f x0 sin x0 x sinx0 这表明y sinx在x0处连续 由于x0的任意性可知它在定义域内连续 例2 解因为 所以f x 在x 0处连续 例3 证因为 且f 0 1 即f x 在x 0处左 右连续 所以它在x 0处连续 二 连续函数的基本性质 定理1若函数f x 和g x 均在x0处连
4、续 则f x g x f x g x f x g x 在该点亦均连续 又若g x0 0 故由极限的运算法则可得 因此f x g x 在x0处连续 证我们仅证明f x g x 的情形 因为f x g x 在x0处连续 所以有 定理3若函数y f x 在某区间上单值 单调且连续 即它们同为递增或同为递减 则它的反函数x f 1 y 在对应的区间上也单值 单调且连续 且它们的单调性相同 定理2设函数y f u 在u0处连续 函数u x 在x0处连续 且u0 x0 则复合函数f x 在x0处连续 综上所述 基本初等函数在其定义域内连续 可以由三角函数的连续性推知各个反三角函数在各自的定义域内连续 借助
5、于定理3 例4 解因为arcsin logax 是初等函数 且x a为它的定义区间内的一点 所以有 定理4初等函数在其定义区间内是连续的 进一步可以得到初等函数连续性的重要定理 例5 应当先将该函数的分子有理化 消去为零的因子x 再计算极限 即 一般地 解这是一个型的极限问题 例6 解 三 闭区间上连续函数的性质 定理5若函数y f x 在闭区间 a b 上连续 2 在 a b 上至少存在一点x2 1 在 a b 上至少存在一点x1 使得对于任何x a b 恒有f x1 f x 使得对于任何x a b 恒有f x2 f x x1 x2 则 若函数在开区间内连续 f x1 f x2 分别称为函数
6、y f x 在区间 a b 上的最大值和最小值 定理5又称最大值和最小值存在定理 如函数y x2在区间 0 1 内就无最大值和最小值 则它在该区间内未必能取得最大值和最小值 则它在 a b 内取得介于其最小值和最大值之间的任何数 定理6若f x 在 a b 上连续 推论若f x 在 a b 上连续 且f a f b 0 推论若函数y f x 在闭区间上连续 则它在该区间上有界 a b y f x 则至少存在一个c a b 使得f c 0 c 例7证明方程x3 4x2 1 0在 0 1 内至少有一个实根 证设f x x3 4x2 1 由于它在 0 1 上连续 且f 0 1 0 f 1 2 0 因
7、此由推论可知 至少存在一点c 0 1 使得f c 0 这表明所给方程在 0 1 内至少有一个实根 四 函数间断点及其分类 定义3设函数y f x 在x0的一个邻域有定义 在x0可以没有定义 则称x0是函数y f x 的间断点 也称函数在该点间断 如果函数f x 在点x0处不连续 1 第一类间断点 若x0为函数y f x 的间断点 则称x0为f x 的第一类间断点 即左 右极限都存在的间断点为第一类间断点 例8证明x 0为函数 证因为该函数在x 0处没有定义 所以x 0是它的间断点 又因为 所以x 0为该函数的第一类间断点 例9证明函数 在x 0处是第一类间断点 因此x 0是该函数的第一类间断点
8、 这类间断点又称为可移去间断点 证 即该函数在x 0处的左 右极限存在 但是由于 因为 如果修改定义f 0 1 所以 左 右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点 在x 0连续 则函数 且在该点至少有一个单侧极限不存在 2 第二类间断点 若x0是函数y f x 的间断点 则称x0为f x 的第二类间断点 故x 0是该函数的间断点 即该函数在x 0处的左 右极限都不存在 所以x 0是该函数的第二类间断点 例如 的第二类间断点 例10证明x 1是 证所给函数在x 1处没有定义 因此x 1是它的间断点 又因为 因此 x 1为所给函数的第二类间断点 例11 解当x 0时 这个表达式由初等函数表示 所以f x 在x 0处是连续的 又 得知f x 在x 0处连续 故函数f x 在 内是连续的 函数f x 的表达式由初等函数表示 例12 解这是分段函数 在x 0时 所以函数连续 无间断点 在x 0处 所以函数在分段点x 0处间断 且为第一类间断点
