《高等数学教学全套课件第二版 陈如邦 电子教案 55定积分在几何上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学全套课件第二版 陈如邦 电子教案 55定积分在几何上的应用（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二 无界函数的反常积分 一 无穷限 区间 的反常积分 5 5定积分在几何上的应用 表示为 一 什么问题可以用定积分解决 1 所求量U是与区间 a b 上的某分布f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 一个整体量 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出局部量的 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 或微元分析法 元素的几何形状常取为 条 带 段 环 扇 片 壳等 近似值 精确值 面积 二 平面图形的面积 1 1直角坐标之一般情形 面积元素 类似地可得 由区
2、间 c d 上的连续曲线与两直线与所围成的平面图形的面积为 面积元素 面积 解 两曲线的交点 面积元素 选x为积分变量 解 选y为积分变量 面积元素 问题 积分变量只能选x吗 问题 多条曲线围成的曲面怎么求解 将图像的面积分割进行处理 分割后每一部分都是前面所学的简单图形的面积 分别求其面积 再求和 解 两曲线的交点 选x为积分变量 于是所求面积 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 解 两曲线的交点 如果选x为积分变量的话 分割为两部分之和 若选x为积分变量 则如下 故 选y为积分变量 由此我们看到 积分变量选取适当 则可使计算简便 例4求y sinx y cosx 解由上述公式知 所围成的
3、平面图形的面积 也可以先作出该平面图形的草图 如图 就不必用公式了 则直接可得 例5求椭圆x acost y bsint的面积 其中a 0 b 0 解因为图形关于x轴 y轴对称 所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍 把x acost y bsint代入上述积分式中 上 下限也要相应地变换 满足积分变量t 由定积分的换元公式得 即 三 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 例6 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 解 直线OP方程为 解 直线OP方程为 例8 求曲线 与x轴围成的封闭图形 绕直线y 3旋转得的旋转体体积 94考研 解 利用对称性 故旋转体体积为 在第一象限
