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1、 19 4 1极坐标系 学习要点 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系 在这两种坐标系中都可以确定点的位置 其各有特点 通常情况下 在运动的过程中 若点作平移变动 则选择直角坐标系 而若点作旋转变动 则采用极坐标系 o P P x y P x y z 1 在数轴上 直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应 2 在平面直角坐标系上 平面上所有点的集合与全体有序实数对 x y 的集合建立一一对应 3 在空间直角坐标系上 空间上所有点的集合与全体三元有序实数对 x y z 的集合建立一一对应 复习回顾 4 1 1直角坐标系 直角坐标系 数轴 空间直角坐标系 平面直角坐标系 R x y x
2、y z 复习回顾 建系时 根据几何特点选择适当的直角坐标系 1 若图形有对称中心 则可选对称中心为坐标原点 2 若图形有对称轴 则可选择对称轴为坐标轴 3 建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 建立坐标系是为了确定点的位置 由此 在所创建的坐标系中 应满足 任意一点都存在一个坐标与之对应 反之 依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标 复习回顾 选择适当的坐标系 表示边长为1的正六边形的顶点 巩固练习 O F A E B D C 1 若有一艘军舰巡逻在海面上 发现前方有一群水雷 如何确定他们的位置以便将它们引爆呢 军舰 水雷群 创设情境 创设
3、情境 从这向北1000米 请问去农行路怎么走 请分析上面这句话 他告诉了问路人什么 从这向北走1000米 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想 就是极坐标的基本思想 情境分析 一 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线Ox 叫做极轴 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 O 新课讲解 二 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示从Ox到OM的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序数对 就叫做M的极坐标 特别强
4、调 表示线段OM的长度 即点M到极点O的距离 表示从Ox到OM的角度 即以Ox 极轴 为始边 OM为终边的角 新课讲解 题组1 说出下图中各点的极坐标 练一练 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一 那有多少种表示方法 坐标不唯一是由谁引起的 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 特别规定 当M在极点时 它的极坐标 0 可以取任意值 想一想 三 点的极坐标的表达式的研究 如图 OM的长度为4 请说出点M的极坐标的其他表达式 思考 这些极坐标之间有何异同 思考 这些极角有何关系 这些极角的始边相同 终边也相同 也就是说它们是终边相同的角 本题点M的极坐标统一表达式 极径相同 不同的是极角 新课讲解
5、题组2 在极坐标系里描出下列各点 练一练 解析 四 1 负极径的定义 说明 一般情况下 极径都是正值 在某些必要情况下 极径也可以取负值 对于点M 负极径时的规定 1 作射线OP 使 XOP 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 如图示 新课讲解 2 负极径的实例 在极坐标系中画出点 M 3 4 的位置 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 3 如图示 M 3 4 新课讲解 题组3 说出下图中当极径取负值时各点的极坐标 练一练 3 关于负极径的思考 负极径 真是 负 的吗 根据极径定义 极径是距离 当然是正的 现在所说的 负极径 中的 负 到底是什么
6、意思 思考 试把负极径时点的确定过程 与正极径时点的确定过程相比较 看看有什么相同 有什么不同 新课讲解 4 正 负极径时 点的确定过程比较 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 3 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的上取一点M 使 OM 3 画出点 3 4 和 3 4 给定 在极坐标系中描点的方法 先按极角找到极径所在的射线 后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点 5 负极径的实质 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP 反向延长 而反向延长也可以看成是旋转 因此 所谓 负极径 实质是针对方向的 这与数学中通常的习惯一致
7、 用 负 表示 反向 负极径小结 极径变为负 极角增加 答 6 或 6 特别强调 一般情况下 若不作特别说明时 认为 0 因为负极径只在极少数情况使用 五 极坐标系下点的极坐标 探索点M 3 4 的所有极坐标 1 极径是正的时候 2 极径是负的时候 六 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M 2 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 新课讲解 一般地 若 是一点M的极坐标 则 2k 或 2k 1 都可以作为它的极坐标 若限定 0 0 2 或 则除极点外 平面内的点和极坐标就可一一对应了 六 极坐标系下点与它的极坐标的对
8、应情况 2 在极坐标系中 与 关于极轴对称的点是 A B C D C D 题组41 在极坐标系中 与点 3 重合的点是 A 3 B 3 C 3 D 3 3 在极坐标系中 与点 8 关于极点对称的点的一个坐标是 A 8 B 8 C 8 D 8 A 3 一点的极坐标是否有统一的表达式 1 建立一个极坐标系需要哪些要素 极点 极轴 长度单位 角度单位和它的正方向 2 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式 无数 极径有正有负 极角也有正负且无数个 有 2k 课堂小结 或 2k 课堂小结 1 极坐标 2k 和 2k 其中表示同一个点 2 点M 关于极点的对称点的一个坐标为 或 3 点M 关于极轴的对称点的一个坐标为 或 4 点M 关于直线的对称点的一个坐标为 或 课外作业 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
