《高等代数智能电子教案课件第七章线性变换 第八节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数智能电子教案课件第七章线性变换 第八节（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容 第八节 定义 主要结论 若尔当 Jordan 标准形介绍 一 定义 从前面第五节的讨论可以知道 并不是对于每 一个线性变换都有一组基 使它在这组基下的矩阵 成为对角形 下面先介绍一下 在适当选择的基下 一般的一个线性变换能化简成什么形状 在这一节 我们的讨论限制在复数域中 定义13形式为 的矩阵称为若尔当 Jordan 块 其中 是复数 由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当 形矩阵 其一般形状如 其中 并且 1 2 s中有一些可以相等 例如 都是若尔当块 是一个若尔当形矩阵 而 一级若尔当块就是一级矩阵 因此若尔当形矩 阵中包括对角矩阵 因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵 所以不难
2、 算出 在一个线性变换的若尔当标准形中 主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根 重根按重数 计算 这一节我们将利用线性变换按它的不变子空间 的直和分解的性质来证明下列重要结论 二 主要结论 定理16设A是复数域上线性空间V的一 个线性变换 则在V中必定存在一组基 使A在 这组基下的矩阵是若尔当形矩阵 证明 设A的特征多项式为 1 2 s是f 的全部不同的根 由 知V可分解成A的不变子空间的直和 V V1 V2 Vs 其中 我们如 能证明在每个Vi上有一组基使A Vi在该基下矩 阵为若尔当形矩阵 则定理得证 为此需证明 引理n维线性空间V上线性变换B满足 Bk 0 k是某正整数 就称B为V上幂
3、零线性 变换 对幂零线性变换B V中必有下列形式的 一组元素作为基 于是B在这组基下的矩阵为 证明 我们对V的维数n作归纳法 n 1 这时V有基 1 且B 1 1 1 由 Bk 1 1k 1 0 得 1 0 于是 1 B 1 0 是要求的基 设线性空间维数 n时 引理的结论成立 对 满足引理条件的n维线性空间V 考察B的不变 子空间BV 若BV的维数等于V的维数 则 BV V 于是 BkV Bk 1 BV Bk 1V Bk 2V V 但BkV 0 得V 0 矛盾 故BV的维数小于 n 将B看成BV上的线性变换 仍有Bk 0 由归纳法假设 BV上有基 其中k1 k2 kt皆为正整数 由于 1 1
4、 t皆属于BV 有 1 2 t V 使B 1 1 B t t 排出下列向量集合 其中实线方框中的向量组正是 4 中的向量组 虚 线方框中的向量组正是实线方框中各向量在B下 的原像所成的向量组 最后一行中的 是B的核B 1 0 中的向量 它们是BV的基中 的部分向量 故是线性无关的 t 1 s是B 1 0 中的向量 它们与 合起来正是B 1 0 的一组基 并组成上述向量组 5 的最后一行 由 知虚线方框中的向 量与最后一行的向量合起来就是V的一组基 且符 合引理的要求 这时kt 1 ks 1 完成了归 纳法 引理证毕 现在回来证明定理16 在Vi上有 作 则 由引理 有Vi的基使B的矩阵为形状如
5、 3 的若 尔当形 于是A Vi B iE在该基下的矩阵 为 3 中矩阵与 iE的和 即为 也是若尔当形 把每个Vi的上述基合起来是V的 基 A在该基下的矩阵仍为若尔当形矩阵 证毕 上述结果用矩阵表示就是 定理17每个n级复矩阵A都与一个若尔当 形矩阵相似 定理17是借助于线性变换的不变子空间的直 和分解及取适当基向量来达到证明的 这是用线性 变换的工具来解决矩阵问题的范例 但这方法用于 计算一般矩阵的若尔当形却不方便 甚至也难于判 断两个n n矩阵何时是相似的 这些问题将留待 下一章中用 矩阵的工具来解决 在那儿同样可 以得到定理16及定理17 并且能得到若尔当标准 形的唯一性的结论 本节内
6、容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮
