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1、主要内容 第八节 定义 主要结论 若尔当 Jordan 标准形介绍 一 定义 从前面第五节的讨论可以知道 并不是对于每 一个线性变换都有一组基 使它在这组基下的矩阵 成为对角形 下面先介绍一下 在适当选择的基下 一般的一个线性变换能化简成什么形状 在这一节 我们的讨论限制在复数域中 定义13形式为 的矩阵称为若尔当 Jordan 块 其中 是复数 由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当 形矩阵 其一般形状如 其中 并且 1 2 s中有一些可以相等 例如 都是若尔当块 是一个若尔当形矩阵 而 一级若尔当块就是一级矩阵 因此若尔当形矩 阵中包括对角矩阵 因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵 所以不难
2、 算出 在一个线性变换的若尔当标准形中 主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根 重根按重数 计算 这一节我们将利用线性变换按它的不变子空间 的直和分解的性质来证明下列重要结论 二 主要结论 定理16设A是复数域上线性空间V的一 个线性变换 则在V中必定存在一组基 使A在 这组基下的矩阵是若尔当形矩阵 证明 设A的特征多项式为 1 2 s是f 的全部不同的根 由 知V可分解成A的不变子空间的直和 V V1 V2 Vs 其中 我们如 能证明在每个Vi上有一组基使A Vi在该基下矩 阵为若尔当形矩阵 则定理得证 为此需证明 引理n维线性空间V上线性变换B满足 Bk 0 k是某正整数 就称B为V上幂
3、零线性 变换 对幂零线性变换B V中必有下列形式的 一组元素作为基 于是B在这组基下的矩阵为 证明 我们对V的维数n作归纳法 n 1 这时V有基 1 且B 1 1 1 由 Bk 1 1k 1 0 得 1 0 于是 1 B 1 0 是要求的基 设线性空间维数 n时 引理的结论成立 对 满足引理条件的n维线性空间V 考察B的不变 子空间BV 若BV的维数等于V的维数 则 BV V 于是 BkV Bk 1 BV Bk 1V Bk 2V V 但BkV 0 得V 0 矛盾 故BV的维数小于 n 将B看成BV上的线性变换 仍有Bk 0 由归纳法假设 BV上有基 其中k1 k2 kt皆为正整数 由于 1 1
4、 t皆属于BV 有 1 2 t V 使B 1 1 B t t 排出下列向量集合 其中实线方框中的向量组正是 4 中的向量组 虚 线方框中的向量组正是实线方框中各向量在B下 的原像所成的向量组 最后一行中的 是B的核B 1 0 中的向量 它们是BV的基中 的部分向量 故是线性无关的 t 1 s是B 1 0 中的向量 它们与 合起来正是B 1 0 的一组基 并组成上述向量组 5 的最后一行 由 知虚线方框中的向 量与最后一行的向量合起来就是V的一组基 且符 合引理的要求 这时kt 1 ks 1 完成了归 纳法 引理证毕 现在回来证明定理16 在Vi上有 作 则 由引理 有Vi的基使B的矩阵为形状如
5、 3 的若 尔当形 于是A Vi B iE在该基下的矩阵 为 3 中矩阵与 iE的和 即为 也是若尔当形 把每个Vi的上述基合起来是V的 基 A在该基下的矩阵仍为若尔当形矩阵 证毕 上述结果用矩阵表示就是 定理17每个n级复矩阵A都与一个若尔当 形矩阵相似 定理17是借助于线性变换的不变子空间的直 和分解及取适当基向量来达到证明的 这是用线性 变换的工具来解决矩阵问题的范例 但这方法用于 计算一般矩阵的若尔当形却不方便 甚至也难于判 断两个n n矩阵何时是相似的 这些问题将留待 下一章中用 矩阵的工具来解决 在那儿同样可 以得到定理16及定理17 并且能得到若尔当标准 形的唯一性的结论 本节内
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