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1、6 1 4二元函数的极限与连续 6 1 1空间直角坐标系简介 6 1 2曲面与方程 6 1 3二元函数 6 1二元函数的极限与连续 为了研究二元函数 就需要引入空间直角坐标系 过空间中的一个定点 作三条相互垂直的数轴 如图 规定为原点 并按下述方法规定三条数轴的正向 将右手伸直 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 1 33 上一页 上一页 空间直角坐标右手系示意图动画演示 拇指向上的方向为轴的正向 其余四指的指向为轴的正向 四指弯曲后的指向为轴的正向 这样建立的空间直角坐标系称为右手系 三条数轴分别称为轴 横轴 轴 纵轴 和轴 立轴 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 2 33 三条坐标轴中的
2、任意两条确定的平面 称为坐标平面 由轴和轴确定的平面称为平面 由轴和轴确定的平面称为平面 由轴和轴确定的平面称为平面 三个坐标平面将空间分为8个部分 每一部分称为卦限 如图 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 3 33 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 4 33 设是空间中的一个已知点 过点作三个平面 分别与轴 轴和轴垂直 三个平面与三条轴的交点 垂足 分别记为 如图 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 5 33 空间点与有序数组的关系示意图动画演示 6 1 1空间直角坐标系简介 设 则点唯一确定了一个三元有序数组 反之 如果给定一个三元有序数组 则分别在轴 轴 轴上取坐标为 的点 然后过点
3、 分别作与轴 轴 轴的垂直平面 返回 6 33 三个平面的交点就是有序数组所确定的唯一的点 于是空间中的一点与有序数组建立了一一对应关系 有序数组称为点的坐标 分别称为点的横坐标 纵坐标和立坐标 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 7 33 坐标原点的坐标为 轴上点的坐标为 轴上点的坐标为 轴上点的坐标为 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 8 33 6 1 1空间直角坐标系简介 返回 9 33 在空间直角坐标系中 可以建立空间曲面与含有三个变量的方程的对应关系 6 1 2曲面与方程 返回 10 33 定义6 1如果曲面上任意一点的坐标都满足方程 而不在曲面上的点的坐标都不满足方程 则方程称为
4、曲面的方程 而曲面称为方程所对应的图形 6 1 2曲面与方程 返回 11 33 6 1 2曲面与方程 返回 12 33 6 1 2曲面与方程 返回 13 33 例1设一个球面的球心为 半径为 求此球面的方程 化简得球面方程 解设球面上任意一点为 6 1 2曲面与方程 返回 14 33 例2求与坐标平面距离恒等于的平面方程 解设平面上的任意一点为 则点到平面的距离为 所以 而 可取任意任意实数 于是所求平面方程为和 如图 6 1 2曲面与方程 返回 15 33 类似的分析可知 分别表示与平面 平面平行的平面 6 1 2曲面与方程 返回 16 33 6 1节例2示意图动画演示 定义6 2设是平面上
5、的一个非空点集 是一个对应法则 如果对于每个点 都可由对应法则得到唯一的实数与之对应 则称是变量 的二元函数 记为 6 1 3二元函数 返回 17 33 变量 称为自变量 称为因变量 集合称为函数的定义域 对应的函数值的集合 返回 18 33 6 1 3二元函数 例3设圆柱体的底面半径为 高为 则圆柱体积 这是一个以 为自变量 为因变量的二元函数 根据问题的实际意义 函数的定义域为 如图 6 1 3二元函数 返回 19 33 值域为 6 1 3二元函数 返回 20 33 例4某企业生产某种产品的产量与投入的劳动力和资金有下面和关系 其中 均为正常数 则产量是劳动投入和资金投入的函数 根据问题的
6、经济意义 函数的定义域 如图 为 6 1 3二元函数 返回 21 33 值域为 6 1 3二元函数 返回 22 33 例5求函数的定义域 并用图形表示 6 1 3二元函数 返回 23 33 于是 函数定义域为 如图 6 1 3二元函数 返回 24 33 6 1节例5示意图动画演示 二元函数的定义域在几何上往往是一个平面区域 平面区域是坐标平面上满足某些条件的点的集合 围成平面区域的曲线称为该区域的边界 6 1 3二元函数 返回 25 33 包含边界的平面区域称为闭区域 不含边界的平面区域称为开区域 包含部分边界的平面区域称为半开区域 如果一个区域总可以被包含在一个以原点为圆心的一个圆域内部 则
7、此区域称为有界区域 否则 称之为无界区域 6 1 3二元函数 返回 26 33 二元函数则表示空间中的一个曲面 这一曲面是由点 组成的点集 如图 这一曲面称为的图形 6 1 3二元函数 返回 27 33 6 1 3二元函数 返回 28 33 例如 二元函数表示以原点为球心 半径为2的上半球面 如图 6 1 3二元函数 返回 29 33 上球面示意图动画演示 设为平面上的一点 以为圆心 为半径的开圆域 称为点的邻域 6 1 4二元函数的极限与连续 返回 30 33 定义6 3如果函数在点的某一邻域内有定义 在点处可除外 当点以任意方式趋近于点时 对应的函数值就无限趋近于一个常数 则称当趋于时 函数以为极限 记作 6 1 4二元函数的极限与连续 返回 31 33 定义6 4设函数在点的某一邻域内有定义 并且 则称函数在点处连续 否则称函数在点处间断 点称为该函数的间断点 如果函数在平面区域内的每一点都连续 则称该函数在区域内连续 6 1 4二元函数的极限与连续 返回 32 33 二元函数的性质 在区域内连续的二元函数的图形是空间中的一个连续曲面 二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数 定义在有界闭区域上的连续函数一定可以在上取得最大值和最小值 6 1 4二元函数的极限与连续 返回 33 33 下一页 下一页 返回 返回 返回 返回 返回
