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1、习题四答案(A)1 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解 （1）矩阵的特征多项式为，所以的特征值为对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为 (为任意常数)（2）矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-1的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解
2、对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值3的全部特征向量为 (为任意常数) (3) 矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向量为 (为任意常数) (4)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为（二重），对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为 (为任意常数
3、)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)(5)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，（二重）对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (为任意常数)(6)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，（二重）对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值6的全部特征向量为 (为任意常数)对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为 (
4、为不全为零的任意常数)2 设为阶矩阵，(1) 若，且存在正整数，使得(称为幂零矩阵)，证明:的特征值全为零；(2) 若满足(称为幂等矩阵)，证明:的特征值只能是0或1；(3) 若满足(称为周期矩阵)，证明: 的特征值只能是1或证明：设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即.（1）因，而故.又因，故，得（2）因，而故，即又因，故，得或1.（3）同（2）可得，即又因，故，得或.3 设分别为阶矩阵的属于不同特征值和的特征向量，证明:不是的特征向量证明：反证法.若是的特征向量，相应的特征值为，则有，即.又因分别为矩阵的属于特征值和的特征向量，即，则，即.因是矩阵的属于不同特征值的特征向量,故线性无关，于
5、是可得，即，矛盾.4 证明定理4.4.若是阶矩阵的特征值，则(1)设，则是的特征值，其中；(2)若可逆，则，且是的特征值，是的伴随矩阵的特征值证明：设矩阵属于特征值的特征向量为，即.（1）因故是的特征值.（2）因可逆，故.而为的特征值之积，故的特征值.用左乘两端得.因，故，即是的特征值.因，故是的伴随矩阵的特征值5 证明:矩阵可逆的充分必要条件是的特征值全不等于零证明：因矩阵可逆，故.由是的全部特征值）得，故.6 已知三阶矩阵的特征值为1，2，3，求的特征值解：由矩阵的特征值的性质得的特征值为，；的特征值为；因的特征值为.7 是三阶矩阵，已知，求解：因，故三阶矩阵的全部特征值为1，2，3.因此
6、的特征值为于是.8 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数的值解：因是的特征向量，故也是的特征向量.设对应的特征值为，于是由可得，解得或.9 证明:如果矩阵可逆，则证明：因，且可逆，则10 如果，证明：存在可逆矩阵，使得证明：因，故存在可逆矩阵，使得.将上式两端右乘，得，即.11 如果，证明:证明：因，故存在可逆矩阵，使得.于是有.而可逆，故.12 已知为二阶矩阵，且，证明:存在可逆矩阵，使得为对角矩阵证明：为二阶矩阵，且，故必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵，使得为对角矩阵13 已知矩阵与矩阵相似，求(1) 常数和的值；(2) 可逆矩阵，使得解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值为
7、，故1，2也是的特征值.而.将代入上式中得.于是可得，故有的特征值为，因此.（2）由（1）知的特征值为，（二重）对应的无关特征向量为，对应的无关特征向量为，令，则可逆，且.14 设三阶矩阵的特征值为1， 2， 3， 对应的特征向量分别为，求(1)；(2)解：（1）令，则.而则.（2）因，所以，故.15 判断第1题中各矩阵是否可以对角化?若可以对角化，求出可逆矩阵，使得为对角阵解：由第1题结果知(1) 可以对角化， ；(2) 可以对角化， ；(3) 可以对角化， ；(4) (5) 不可以对角化；(6) 可以对角化， 16 证明正交矩阵的实特征值只能是1或证明：设为正交矩阵，则.设矩阵的特征值为，
8、对应的特征向量为，即.将上式两端取转置得.将上面两式左右相乘得，即.而为非零常数，故.17 设，求正交矩阵，使得为对角阵解：矩阵的特征多项式为，所以的特征值为（二重），对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为， 将其正交化，取，再单位化，得；对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为将其单位化，得令，则18 设三阶实对称矩阵的特征值为， 属于的特征向量为，求属于的特征向量及矩阵解：设属于的无关特征向量为.因是实对称矩阵，故的特征向量必正交，于是，即是齐次线性方程组的两个线性无关解向量.求得上述方程组的基础解系为，故取，因此属于的全部特征向量为 (不全为零)；令，则.而，故(B
9、)1 设阶矩阵的各行元素之和为常数，证明:是矩阵的一个特征值， 是对应的特征向量证明：设，其中.由知是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量2 设都是非零向量，且，记，求(1)；(2)的特征值与特征向量解：（1）由得，于是.（2）由A组第2题（1）知的特征值为0.求的特征向量.，因都是非零向量，故必存在某个和不为零，因此中元素，不妨设.将做初等行变换得，即，故齐次线性方程组的基础解系含有个解向量.令为，得，于是所求特征向量为，不全为零）.3 已知三阶矩阵的特征值为2， 3， 4， 对应的特征向量分别为，令向量，（1）将用线性表示；（2）求(为正整数)解：（1）由得.（2） 4 设为三阶实对称矩阵，
10、且满足条件，求矩阵的全部特征值解：设矩阵的特征值为，则由得，故或.因为三阶实对称矩阵，故必与某三阶对角矩阵相似.因，故，所以的对角线元素有两个和一个0.因此的全部特征值为（二重），5 设四阶矩阵满足，求的一个特征值解：因，故矩阵可逆.由知得.因得是矩阵的一个特征值，因此的一个特征值为6 设有3个线性无关的特征向量，求与满足的条件解：矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，（二重）因有3个线性无关的特征向量，故齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，即.而，于是7 问阶矩阵与是否相似，为什么?解：令，则.矩阵的特征值为重），.对应的齐次线性方程组的系数矩阵为故属于的无关特征向量有个；对应的齐次线性方程组的
11、系数矩阵为故属于的无关特征向量有1个.因此矩阵有个线性无关的特征向量，故可对角化，且 因为，故的特征值必有0和非零数值.因，故特征值0有个线性无关的特征向量，所以0的重数至少为，则的非零特征值为，因此矩阵的特征值为重），.因为实对称矩阵，故必可对角化，且，于是.8 设为阶矩阵， ，且存在正整数，使得，证明不能对角化解：反证法.假设可对角化，由A组第2题（1）知，的特征值都为0，故，即存在可逆矩阵，使得，则，矛盾.9 设矩阵矩阵，求解：矩阵的特征方程为，所以的特征值为，（二重）因矩阵是实对称矩阵，故属于的线性无关的特征向量必有2个，即.因，则的特征值只有0，3（二重），且属于3的线性无关的特征向量也有2个，即.因1不是矩阵的特征值，故，即.因此.版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！1，侵权必究 联系QQ68843242 1，版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！侵权必究 联系QQ68843242 1
