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1、1 1等腰三角形 第一章三角形的证明 情景引入 合作探究 课堂小结 随堂训练 第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质 情景引入 下载图片 共同特点 合作探究 全等三角形的判定和性质 定理 两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等 对应角相等 等腰三角形 你知道什么是等腰三角形吗 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 相等的两条边AB和AC叫做腰 另一条边BC叫做底边 两腰所夹的角 BAC叫做顶角 底边与腰的夹角 ABC和 ACB叫做底角 如图 ABC中 AB AC 那么 ABC就是等腰三角形 只有等腰三角形才有底角和底边 如图 在三角形ABC中 AB AC 且
2、AD BD 请大家数一数 这个图形中一共有多少个等腰三角形 ABC AB AC ADB AD BD 若将条件改为AB AC AD BD BC 则有多少个等腰三角形 ABC AB AC ADB AD BD BDC BD BC 心灵手巧 材料 剪刀 一张矩形纸 方法 1 先将矩形纸按图中虚线对折 2 剪去阴影部分 3 将剩余部分展开 大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形纸片 它除了两腰相等以外 你还能发现什么 A B C 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 我们就说这个图形关于这条直线对称 那么这个图形就叫轴对称图形 这条直线叫对称轴 互相重合的点是对应点 叫做对称点
3、设问 你发现了什么现象 猜一猜 猜想等腰 ABC有哪些性质 角 B C BAD CDA ADC ADB 900 边 BD CD 两个底角相等 AD为顶角 BAC的平分线 AD为底边BC上的高 AD为底边BC上的中线 结论 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形性质性质1等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 性质2等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 可简记为 三线合一 证明 作顶角的平分线AD 在 BAD和 CAD中 AB AC 已知 1 2 辅助线作法 AD AD 公共边 BAD CAD SAS B C 全等三角形的对应角相等 已知 ABC中 AB AC 求证 B C
4、 1 2 证明 等腰三角形的两个底角相等 作顶角的平分线 D 证明 作底边中线AD 在 BAD和 CAD中 AB AC 已知 BD CD 辅助线作法 AD AD 公共边 BAD CAD SSS B C 全等三角形的对应角相等 已知 ABC中 AB AC 求证 B C D 证明 等腰三角形的两个底角相等 作底边中线 证明 作底边高线AD AB AC 已知 AD AD 公共边 Rt BAD Rt CAD HL B C 全等三角形的对应角相等 已知 ABC中 AB AC 求证 B C D 证明 等腰三角形的两个底角相等 作底边的高线 在Rt BAD和 RtCAD中 等腰三角形的性质1等腰三角形的两个
5、底角相等 等边对等角 2等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形三线合一 例1在三角形ABC中 已知AB AC 且 B 80 则 C 度 A 度 AB AC 已知 B C 等边对等角 B 80 已知 C 80 又 A B C 180 三角形内角和为180 A 180 B C A 20 等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 2等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形三线合一 操练1在三角形ABC中 已知AB AC 且 A 50 则 B 度 C 度 AB AC 已知 B C 等边对等角 又 A B C 180 三角形内角和为
6、180 A 50 已知 B 65 C 65 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 课堂小结 通过本节课的学习 你有哪些收获 性质1 等边对等角 性质2 三线合一 常用来证明两角相等 求等腰三角形各角的度数 研究等腰三角形的有关问题时 三线 是常用的辅助线 等腰三角形 1 判断下列语句是否正确 1 等腰三角形的角平分线 中线和高互相重合 2 有一个角是60 的等腰三角形 其它两个内角也为60 3 等腰三角形的底角都是锐角 4 钝角三角形不可能是等腰三角形
7、 随堂训练 2 在三角形ABC中 AB AC 且AD BC 已知BD 2cm 求DC cm BC cm AB AC AD BC 已知 BD CD 等腰三角形的高与底边上的中线重合 即 等腰三角形三线合一 BD 2cm 已知 CD 2cm 3 已知AD BC 试找出等腰三角形ABC AB AC 中 存在相等关系的量 B C 1 2 BDA CDA 90 BD CD 4 根据等腰三角形的性质 在 ABC中 AB AC时 1 AD BC 2 AD是中线 3 AD是角平分线 BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 5 如图 在等腰三角形ABC中 AB AC D为
8、BC的中点 则点D到AB AC的距离相等 请说明理由 解 相等 理由如下 连接AD在 ABC中 AB AC D为 C中点 AD平分 BAC DE AB DF AC DE DF 1 1等腰三角形 第一章三角形的证明 情景引入 合作探究 课堂小结 随堂训练 第2课时等边三角形的性质 1 什么是等腰三角形 2 等腰三角形有什么性质 从边看 从角看 从对称性看 从重要线段看 情景引入 三边都相等的三角形叫等边三角形 AB BC CA 提出问题 等边三角形有哪些性质呢 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形也叫正三角形 从边看 从角看 从对称性看 从重要线段看 合作探究
9、 等边三角形的性质 2 等边三角形的内角都相等 且等于60 3 等边三角形各边上中线 高和所对角的平分线都三线合一 4 等边三角形是轴对称图形 有三条对称轴 1 三条边相等 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 3 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 1 三边都相等的三角形是等边三角形 定义 一般三角形 A B C AB BC AC ABC是等边三角形 B 600AB BC ABC是等边三角形 A B C ABC是等边三角形 怎样判断三角形ABC是等边三角形 例1 如图 ABC是等边三角形 DE BC 交AB AC于D E 求证 ADE是等边三角形 若将DE BC改为AD AE呢 若将D
10、E BC改为 ADE 600呢 等边三角形与等腰三角形性质和判定的异同 有两条边相等 1 两边 两角相等2 三线合一3 一条对称轴 1 三边 三角相等2 三线合一3 三条对称轴 有三条边相等 1 定义2 等角对等边 1 定义2 三个角都相等3 等腰三角形有一个角是600 课堂小结 1等边三角形每各边上的中线 高和它所对角的平分线互相重合 6 5 4 3 2 1 8 10 9 7 2等边三角形是轴对称图形 有三条对称轴 对称轴是 顶角平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线 1 ABC是等边三角形 以下三种分法分别得到的 ADE是等边三角形吗 为什么 在边AB AC上分别截取AD AE 作 A
11、DE 600 D E分别在边AB AC上 过边AB上一点D作DE BC 交边AC于E点 随堂训练 2 如图 等边三角形 中 是 上的高 图中有哪些与BD相等的线段 1 1等腰三角形 第一章三角形的证明 复习导入 合作探究 课堂小结 随堂训练 第3课时等腰三角形的判定与反证法 我们在上一节学习了等腰三角形的性质 现在你能回答我一些问题吗 复习导入 复习 1 等腰三角形的性质定理是什么 等腰三角形的两个底角相等 可以简称 等边对等角 2 这个定理的逆命题是什么 如果一个三角形有两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形 3 猜想这个命题正确吗 思考 A B O 如图 位于海上A B两处的两艘救生船接到
12、O处遇险船只的报警 当时测得 A B 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发 能不能大约同时赶到出事地点 不考虑风浪因素 在一般的三角形中 如果有两个角相等 那么它们所对的边有什么关系 合作探究 已知 ABC中 B C 求证 AB AC 证明 作 BAC的平分线AD 在 BAD和 CAD中 B C 1 2 AD AD BAD CAD AAS AB AC 全等三角形的对应边相等 1 2 思考 作底边上的高可以吗 作底边中线呢 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 应用格式 在 ABC中 B C AB AC 等角对等边 例1 求证 如果三角
13、形一个外角的平分线平行于三角形的一边 那么这个三角形是等腰三角形 从求证看 要证AB AC 需证 B C 分析 从已知看 因为 1 2 AD BC可以找出 B C与的关系 证明 AD BC 1 B 两直线平行 同位角相等 2 C 两直线平行 内错角相等 1 2 B C AB AC 等角对等边 如图 标杆AB高5m 为了将它固定 需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D E两点拉两条绳子 使得点D B E在一条直线上 量得DE 4m 绳子CD和CE要多长 例2 解 选取比例尺为1 100 即以1cm代表1m 作线段DE 4cm 作线段DE的垂直平分线MN 与DE交于点B 在MN上截取BC2 5
14、cm 连接CD CE CDE就是所求的等腰三角形 量出CD的长 就可以计算出要求的绳长 自己试一试 1 等腰三角形的判定方法有下列几种 2 等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 3 运用等腰三角形的判定定理时 应注意 定义 判定定理 条件和结论刚好相反 在同一个三角形中 课堂小结 1 已知 如图 A 360 DBC 360 C 720 计算 1和 2 并说明图中有哪些等腰三角形 解 1 720 2 360 等腰三角形有 ABC ABD BCD 随堂训练 2 已知 如图 CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高 找出图中有哪些等腰直角三角形 等腰直角三角形有 ABC ACD BCD 3 已知 如图
15、 AD BC BD平分 ABC 求证 AB AD 证明 AD BC ADB DBC BD平分 ABC ABD DBC ABD ADB AB AD 等角对等边 1 1等腰三角形 第一章三角形的证明 复习导入 合作探究 课堂小结 随堂训练 第4课时等边三角形的判定及含30 角的直角三角形的性质 三线合一 三个角都相等 轴对称图形 3条 等边三角形 轴对称图形 1条 两个角相等 三线合一 等于60 两条边相等 三边都相等 复习导入 有两边相等的三角形是等腰三角形 定义 有两个角相等的三角形是等腰三角形 满足什么条件的三角形是等边三角形 满足什么条件的三角形是等腰三角形 三边都相等的三角形是等边三角形
16、 定义 三个角都相等的三角形是等边三角形 方法一 从边看 方法二 从角看 方法一 方法二 合作探究 小明认为还有第三种方法 两条边相等且有一个角是60 的三角形也是等边三角形 你同意吗 分类讨论 边相等转化为角相等 1 判断下列说法的正误 1 有一个外角是120 的等腰三角形是等边三角形 2 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 3 三个外角都相等的三角形是等边三角形 4 有两个角为60 的三角形是等边三角形 6 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 5 有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形 判定1 三边相等 定义 判定2 三个角相等 AB BC AC ABC是等边三角形 A B C ABC是等边三角形 A 600 AB BC ABC是等边三角形 判定3 一个角是60 的等腰三角形 2 在 ABC中 AB AC 若要使 ABC为等边三角形 还应补充一个条件 这个条件是 只填写一个条件 3 在 ABC A 60 AB AC 10cm 则BC 10cm 例1 如图 E F是 ABC中BC边上的点 且BE EF CF AE AF 求 BAC 注 边相等可转换为角相等 例
