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1、65第三章 非线性科学的基本概念第三章 非线性科学的基本概念3 - 1 非线性科学的研究对象经典的自然科学从它一产生，就接受了这样一个事实或公理：整体和部分之间是简单的加和关系，也就是说，叠加原理是一个普适性的定理。当我们用数学公式来表达研究对象间的定量关系时，一开始就毫不犹豫地用线性关系表达，即两个量之间是成正比那样的线性关系。例如，牛顿力学的基本方程是，刻画电磁场变化的麦克斯韦方程组是线性的偏微分方程组，相对论对牛顿力学的改造是线性的，量子力学的薛定谔方程也是线性的等等。然而，世界在本质上却是非线性的。从整体和局部的关系来看，整体的各部分除了单纯的加和关系外，还存在着极其重要的相干关系，它
2、体现了自然的本质。从另一方面来看，线性的方法对自然的理解往往是可逆的，例如经典力学就是对可逆过程的刻画；但是，自然界中一切与热现象有关的实际宏观过程却都是不可逆的，高能粒子的产生和湮没也是不可逆的。自然现象遵循着不依赖于人类意志的客观规律。然而，数理科学中却有着两套反映自然规律的体系确定论描述和概率论描述。在这两套描述体系的发展过程中，各有一个典型的问题对于新的概念和方法起着试金石的作用。在20世纪60年代以前，人们一般认为由伽利略和牛顿所创立的经典力学是确定论和可逆性描述的典范，其试金石是天体力学。这一发展过程的各个阶段，构成了现代数理科学的坚实的知识基础。另一方面，概率论的试金石是布朗运动
3、，1905年爱因斯坦引用随机过程的概念成功地预言了布朗运动的基本特性。量子力学和相对论的创立，使人们认识到客观世界是复杂的，自然界中除了牛顿力学原来所支配的确定论过程之外，还存在着大量的随机过程。然而，当时法国数学家庞加莱(H. Poincar)认识到，一个系统的状态中的任意小的不确定因素可能会逐渐增大，使未来的状态成为不可预测的。总之，一系列的发展表明，概率论同样是深入研究自然规律，特别是研究复杂系统行为的必要的知识基础。这两套描述体系的发展有着诸多并行之处，而在认识论基础上却存在着深刻的对立。力学和数学早就有一批可以精确求解的非线性方程，物理学也曾经严格地解决过少数非平庸的模型。数学中微分
4、方程定性理论与无线电技术所需要的非线性线路理论的结合，引起了“非线性振动理论”这一分支的发展。然而，非线性仍被人们看成是个难以逾越的课题，人们对每一个具体问题似乎都要求发明某种特殊的算法和技巧。当时人们还没有悟出这些问题的内在联系和普遍启示。20世纪60年代中期，事情从非线性现象的两个极端同时发生了变化。一方面，描述浅水波运动的一个偏微分方程的数值计算，揭示了方程的解具有出奇的稳定和保守性质，这启发人们找到了求解一大类非线性偏微分方程的普遍途径，扩展了分析力学中原有的可积性概念。另一方面，在不可积的极端，揭示了在保守系统中随机运动的普遍性，而在耗散系统中则发现了一批奇怪吸引子和混沌运动的实例。
5、混沌动力学的发展表明，确定论与概率论描述之间的界限并不是不可逾越的。对初值细微变化的敏感，使得确定论系统的长时间行为必须借助概率论方法描述。这些研究迅速融成一片，引发了人们对复杂性问题的研究，逐渐认识到非线性因素是这类复杂性问题的集中表现。随后，计算机技术以及数学和统计物理学的发展，使得对于非线性的研究正在从范例的研究走向一个以探索复杂性为目标的新学科非线性科学。例如，从随机与结构共存的湍流图象，到自然界中各种图样花纹的选择与生长，以及生物形态的发生过程，都开始展现出其内在的规律。如果说混沌现象主要是非线性系统的时间演化行为，那么对于这些复杂系统，我们所要研究的是非线性地耦合到一起的大量单元或
6、子系统的空间组织或时空过程。标度变换下的不变性、分形几何学和重正化群技术，在这里都起着重要的作用。当代科学技术发展的重要特征之一是，在几乎所有的领域中都发现了非线性现象。非线性科学正在成为跨学科的研究前沿，它只研究各门学科中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正就可以解决的问题，以及它自身理论发展所需要的概念和方法。换言之，非线性科学揭示各种非线性现象的共性，发展处理它们的普适方法。近期非线性科学研究的主要内容有以下几个方面：非线性映射的宏观特性、混沌与分形、动力学系统的时间反演问题、自组织与耗散结构、随机非线性微分方程、湍流、神经网络系统、孤立子与拟序结构、复杂性探索等。一般
7、认为，混沌、分形和孤立波是非线性科学中不可缺少的组成部分，而且它们三者是彼此联系着的。当一个系统或事物里有可调的恒定参量时，参量的不同会引起系统长期动态发生根本性的变化，这是分岔理论所关心的问题；当参量的变化跨越某些临界值(称为分岔点)时，系统将有根本性的转变，例如孤立波的失稳、一种分形结构的改变、混沌过程变成周期振荡等等。如果在一个系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，而在空间分布上又有变化着的分形图形，就应把时空联系起来研究图形的动力学。3 - 2 混 沌一 混沌现象混沌(chaos)是普遍存在的复杂的运动形式。“混沌”一词通常是指宇宙形成之前模糊不清的景象或状态，其英文原词“chaos
8、”系指混乱、无序状态，在科学技术领域中常用以表示无规运动。实际上，奔腾的小溪、缭绕的轻烟、心脏的跳动、昆虫的繁衍等变化无常而又错落有致的现象，都包含有混沌运动。正常人的脑电图曲线代表典型的混沌现象。在自然界中，人们常会遇到像钟摆周期性振动那样的规则运动，人们也常会遇到像布朗运动那样的带有随机性的无规运动。对于这两类运动的研究，通常分别借助于确定论方法和概率论方法。过去认为对于一个能够用确定论的方法描述的系统，只要初始条件给定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来；初始条件的细微变化，只能使运动状态产生微小的改变。这就是说，用确定论方法描述的运动都属于规则运动。然而，20世纪60年代以来，人们发
9、现：即使对于典型的可用确定论方法描述的系统来说，只要该系统稍微复杂一些(通常是指含有非线性因素)，在一定条件下也会产生非周期性的、表面上看来很混乱的无规运动。这种来自可用确定论方法描述的系统中的无规运动，称为混沌或内在随机性。研究表明，混沌现象存在于绝大多数非线性系统中。混沌运动的最基本特点是不可预言性，即这种运动对初始条件特别敏感。用专门术语来说，初始条件的微小变化也会引起轨道迅速分开，而且是指数分离。由于确定初始条件的任何数据都会有误差，据此对混沌现象所做出的长期预言必然是不准确的。一种形象的说法是，即使北京的一只蝴蝶抖一抖翅膀，这也会在若干星期后影响到纽约的天气，通常称此为蝴蝶效应。混沌
10、运动的不可预言性表明，即使在牛顿力学中确定论也是靠不住的，这对人们的自然观和科学观是一个重大的冲击。二 非线性映射的宏观特性( 1 ) 一维非线性映射在混沌现象研究中起重要作用的是一维非线性映射方程, (3.1)其中a为控制参量。恰当地选取a值，可以使的每一个值映射为的一个值，且与的取值可限制在一定的范围内。在这类映射中，最有典型意义的模型是逻辑斯谛映射(logistic mapping)或虫口模型 虫口模型是由生物学家梅(May)于1976年给出的，它表示昆虫世代繁殖的情况。在昆虫社会中“虫口”一词相当于人类社会中的“人口”。如果没有非线性项，这就是著名的马尔萨斯方程。，其映射方程为, (3
11、.2)其中l是与虫口增长率有关的控制参数。这里设x在0, 1范围内变化，且. 上述非线性迭代方程表明，第代的虫口数除了正比于第n代虫口数的项以外，还要减去因食物有限及接触传染导致的昆虫死亡数。式(3.2)还可变换为如下的抛物线迭代方程的形式： , (3.3)其中.( 2 ) 不动点和稳定性图3-1 图3-2 不动点对式(3.2)来说，若取，则以后所有都将是0，因此可以把0称为式(3.2)的一个不动点(fixed point)，它相应于力学中的一个平衡态。一般而言，对式来说，若取可使其满足，则 x 就是一个不动点。若用表示在处的值，则当时该不动点x 是稳定的，而当时该不动点x 是不稳定的。一个不
12、稳定的不动点在物理上或计算实验上都难以观察到，一般情况运动将趋于稳定的解。对于虫口模型式(3.2)，当时，；而当时，. 如图3-1所示，当时，逐次迭代由图中的一系列竖线和横线来实现，不动点是稳定的。换言之，当时，不管初始x0 取何值，迭代结果的归宿都是同一个确定值，即周期为1的一个不动点。该确定值与参量l有关，与l值存在一一对应的关系。这种周期行为可想象成用式(3.2)表示的每年的虫口数都相同。( 3 ) 周期解和倍周期分岔当时，式(3.2)有两个不稳定的不动点0和0.6875. 只要初值x0 稍微偏离这两个值，迭代多次后就会按照图3-3(a)所示的“方块”周期性地循环，即x在0.5130和0
13、.7995两个值之间周期性地跳跃，而这两个值就是方程(且的根。这相当于虫口数以两年为周期，如图3-3(b)所示。可以证明，控制参数在范围内，周期2解是稳定的。比较图3-1与图3-3可见，由于控制参数l的变化，从以“一年”为周期变为以“两年”为周期，称为周期加倍或倍周期分岔。 图3-3 2倍周期 图3-4 4倍周期当时，周期2的解失稳，迭代过程沿图3-4(a)中的两个“正方形”周期性循环，即在的根所决定的4个值之间周期性跳跃，称为4倍周期，如图3-4(b)所示。与此类似，我们可以推论，当控制参数时，周期4的解开始失稳，并出现周期8的解等等。如图3-5所示上述倍周期分岔过程没有限制，但相应的控制参
14、数l值却有一个极限，即 (3.4)当时，系统的定常解是周期为2的解，即一个非周期解。在控制参数到之间，周期变为 ，最后的归宿可取无穷多个各种不同的值，即系统中将出现混沌现象。 图3-5 倍周期分岔(未按比例画)在的混沌区内，还存在所谓的“倒分岔”现象。如图3-5所示，当时，x 值从0到1, 可以称为单片的混沌；而当 l 从4逐渐减小到时，x 值会由单片的混沌变成两片的混沌，即 x 的“定常值”分布在两个区间内，每一次迭代都会使其数值从其中一个跳到另一个； 当 l 再减少到跨越时，两片的混沌又分成为四片的混沌如果取出一小部分加以放大，我们发现分岔的形式与整个分岔图相似，也是从周期到2倍周期、4
15、倍周期这种局部与整体相似的特性，称为自相似性(self - simiarity)。( 4 ) 对初值的敏感性由图3-5可见，在的情况下，迭代方程解的最后归宿总是周期性的、确定性的和可预测的，与初始值x0无关。一旦控制参数 l 的取值介于和4之间，情况将发生根本性的变化。当时，由表3-1可见演化过程对初值的敏感性达到了何种程度。尽管表3-1中三个初值之差已非常小，然而经过50次迭代后所得结果彼此之间就相差很大了。换言之，这三个初值差别是如此之小，以致在物理上无法对它们加以分辨，只能视之为“同一”初值。在前10步迭代过程中几乎有相同的演化规律，即演化还是可预测的；但是在50步迭代后，由这三个“同一”初值却产生了截然不同的结果，以致似乎在演化规律方面出现了随机性，这就是我们通过对虫口模型的研究所看到的诱发混沌现象的普遍机制。表3-1 对初值的敏感依赖性n由确定的010. 360. 360 000 032 00. 360 000 003 220. 921 60. 921 600 358 40. 921 600 035 830. 289 013 760.
