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1、专题强化训练(二十三)1.(2019郑州质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于两点P，Q，若PQF2的周长为4，求的最大值解(1)由题意可知以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切c，即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)a22b2，.e .(2)PQF2的周长为4，4a4，a，由(1)知，b21，椭圆方程为y21，且焦点F1(1,0)，F2(1,0)若直线l的斜率不存在，则可得lx轴，直线l的方程为x1，解方程组可得或P，Q，(2)(2)
2、4.故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，由消去y整理得(2k21)x24k2x2k220.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21(k21)(k21)k21，k20，可得1，综上可得1b0)的一条切线方程为y2x2，且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两个不同的点，与y轴交于点M，且3，求实数m的取值范围解(1)由题意知，离心率e，ca，ba，1，将y2x2代入，得8x28x8a20，由12832(8
3、a2)0，得a24，故椭圆C的标准方程为x21.(2)根据已知，得M(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，且4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2，由3，得x13x2，即x13x2，3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240，当m21时，m2k2m2k240不成立，k2，k2m240，m240，即0，1m24，解得2m1或1m0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且(2,0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线的方程；(2)若k2k12，点D是B，C处
4、切线的交点，记BCD的面积为S，证明S是定值解(1)设A(x0，y0)，可知F，故(2,0)，代入x22py(p0)，得4p2，即p2，抛物线的方程为x24y.(2)证明：如图，过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B，C，由(1)得A(2,1)，k2k1，又k2k12，2，即x2x18.又x24y即yx2，有yx，kBD，kCD，直线DB：yx，直线CD：yx.联立解得又直线BC的方程为y(xx1)，将xD代入，得yE.BCD的面积为SED(x2x1)(yEyD)(x2x1)(x2x1)832(定值)4(2019福建福州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为A，以A为圆心，椭圆的长半轴为半径
5、的圆与y轴的交点分别为(0,1)，(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过点A且斜率存在，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由解(1)依题意知点A的坐标为(0，b)，则以点A为圆心，以a为半径的圆的方程为x2(yb)2a2.令x0，得yba，由圆A与y轴的交点分别为(0,1)，(0,1)，可得解得故所求椭圆C的方程为y21.(2)解法一：由题意得直线l不过点(0,1)且斜率存在，设直线l的方程为ykxm(m1)，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1，y11)，(x2，y21)，由0得x1x2y1y
6、2(y1y2)10.由消去y得(3k21)x26kmx3m230，12(3k2m21)，由0得3k2m210，则x1x2，x1x2.又y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2，y1y2k(x1x2)2m，代入式得(k21)x1x2(mkk)(x1x2)m22m10，所以(k21)(mkk)m22m10，整理得2m2m10，解得m或m1(舍)，满足0，此时直线l的方程为ykx，直线l过定点.解法二：由0得，可得PA的斜率存在且不为0，设直线lPA：ykx1则lQA：yx1，将代入椭圆方程并整理得(13k2)x26kx0，可得xP，则yP1，同理可得xQ，yQ1.由直线方程的两点式可得直线l的方程为，即yx，则直线l过定点，该定点的坐标为.
