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1、京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班2013 中考总结复习冲刺练： “最值问题” 集锦冲刺练由京翰教育一对一家教辅导(http:/)整理平面几何中的最值问题 01几何的定值与最值 07最短路线问题 14对称问题 18巧作“对称点”妙解最值题 22数学最值题的常用解法26求最值问题29有理数的一题多解344 道经典题37平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例
2、在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。例 1、A、B 两点在直线 l 的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB 最小。 分析：在直线 L 上任取一点 P，连结 A P，BP，在ABP中 AP+BPAB，如果
3、AP+BPAB,则 P必在线段 AB 上，而线段 AB 与直线 L 无交点，所以这种思路错误。京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班取点 A 关于直线 L 的对称点 A，则 AP AP，在ABP 中 AP+BPAB,当 P移到 AB 与直线 L 的交点处 P 点时 AP+BPAB，所以这时 PA+PB 最小。1 已知 AB 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDC 的周长最大(图 391)？分析 本例是求半圆 AB 的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为 R
4、由于 ABCD，必有 AC=BD若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC 的半周长 u=x+y+R 的最大值即可 解 作 DEAB 于 E，则x 2=BD2=ABBE2R(R-y)2R 2-2Ry，所以所以求 u 的最大值，只须求-x 2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R 2，上式只有当 x=R 时取等号，这时有所以2y=R=x所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C，D，这时，梯形的底角恰为 60和 1202 .如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为 8 米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解 设
5、x 表示半圆半径，y 表示矩形边长 AD，则必有 2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为 S，则京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知 P 点是半圆上一个动点，试问 P 在什么位置时，PA+PB 最大(图 393)？分析与解 因为 P 点是半圆上的动点，当 P 近于 A 或 B 时，显然 PA+PB 渐小，在极限状况(P 与 A 重合时)等于 AB因此，猜想 P 在半圆弧中点时，PA+PB 取最大值设 P 为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP
6、 到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB 是切线为了证 PA+PB 最大，我们在半圆弧上另取一点 P，连 PA，PB，延长 AP到 C，使 PC=BP，连 CB，CC，则PCB=PBC=PCB=45，所以 A，B，C，C 四点共圆，所以CCA=CBA=90，所以在ACC中，ACAC，即 PA+PBPA+PB4 如图 394，在直角ABC 中，AD 是斜边上的高，M，N 分别是ABD，ACD 的内心，直线 MN 交 AB，AC 于 K，L求证：S ABC2S AKL 证 连结 AM，BM，DM，AN，DN，CN因为在ABC 中，A=90，ADBC 于 D，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学
7、一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90因为 M，N 分别是ABD 和ACD 的内心，所以1=2=45，3=4，所以ADNBDM，又因为MDN=90=ADB，所以 MDNBDA，所以 BAD=MND由于BAD=LCD，所以 MND=LCD， 所以 D，C，L，N 四点共圆，所以 ALK=NDC=45同理，AKL=1=45，所以 AK=AL因为 AKMADM，所以 AK=AD=AL而而从而所以 S ABC S AKL 5. 如图 395已知在正三角形 ABC 内(包括边上)有两点 P，Q求证：PQAB证 设过 P，Q
8、的直线与 AB，AC 分别交于 P1，Q 1，连结 P1C，显然，PQP 1Q1因为AQ 1P1+P 1Q1C=180，所以AQ 1P1和P 1Q1C 中至少有一个直角或钝角若AQ 1P190，则 PQP 1Q1AP 1AB；若P 1Q1C90，则 PQP 1Q1P 1C同理，AP 1C 和BP 1C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP 1C90，则 P 1CBC=AB对于 P，Q 两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB6. 设ABC 是边长为 6 的正三角形，过顶点 A 引直线 l，顶点 B，C 到 l 的距离设为 d1，d 2，求 d1+d2的最大值(1992 年上海初中赛题)京
9、翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班解 如图 396，延长 BA 到 B，使 AB=AB，连 BC，则过顶点 A 的直线 l 或者与 BC 相交，或者与 BC 相交以下分两种情况讨论(1)若 l 与 BC 相交于 D，则 所以 只有当 lBC 时，取等号(2)若 l与 BC 相交于 D，则所以 上式只有 lBC 时，等号成立 7. 如图 397已知直角AOB 中，直角顶点 O 在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长 AO，BO 分别与单位圆交于 C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值解 设O 与 AB 相切于 E，有 O
10、E=1，从而京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班即 AB2当 AO=BO 时，AB 有最小值 2从而所以，当 AO=OB 时，四边形 ABCD 面积的最小值为几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班几何中的
11、最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边APC 和等边BPD，则 CD 长度的最小值为 思路点拨 如图，作 CCAB
12、于 C，DDAB 于 D，DQCC，CD 2=DQ2+CQ2，DQ= AB 一常数，当 CQ 越小，CD 越小，1本例也可设 AP= ，则 PB= ，从代数角度探求 CD 的最小值 xx0注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形 ABC 的高，此圆在沿底边 AB 滚动，切点为 T，圆交 AC、BC 于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A从 30到 60变动 B从 60到 90变动C保持 30不变 D保持 60不变 思路点拨
13、先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD，AB= ，BC= ( )，P 为 AB 边上的一动点，ab直线 DP 交 CB 的延长线于 Q，求 AP+BQ 的最小值思路点拨 设 AP= ，把 AP、BQ 分别用 的代数式表示，运用不等式 (当且仅当 时取等号)来求最小值xx ab2ba【例 4】 如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于
14、 A、B 的点 M，设直线 AC 与 BM 相交于 K，直线 CB 与 AM 相交于点N，证明：线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关思路点拨 即要证 AKBN 是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明 AKBN 与 AB 有关，从图知 AB 为ABM 与ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题 京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班【例 5】 已知XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形(Z=90)，它的三个顶点分别在等腰 RtABC(C=90)的三边上，求ABC 直角边长的最大可能值思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB 上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z 在(AC 或 CB)上时，设 CX= ，CZ= ，建立 ， 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 xyxy注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解
