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1、第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系 （一）教学目标 1知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理 4； （4）理解并掌握等角公理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣. （二）教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理 4 及等角定理. 难点：异面直线所成角的计算. （三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合； 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图新
2、课导入 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？ 师投影问题，学生讨论回答 生 1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交. 生 2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线 师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知 1空间的两条直线位置关系： 共面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：相交直线有且仅有一个公共点 平行直线在同一平面内，没
3、有公共点. 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点. 随堂练习： 如图所示 P50-16 是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对. 答案：4 对，分别是 HG 与 EF，AB 与 CD，AB 与 EF，AB 与 HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类 生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内. 师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢” 学生讨
4、论发现不能去掉“任何” 师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理 4，平行于同一条直线的两条直线互相平行 （2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 例 2 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：连接 BD， 因为 EH 是ABD 的中位线， 所以 EHBD，且 . 同理 FGBD ，且 . 因为 EHFG ，且 EH = FG， 所以 四边形 EFGH 为
5、平行四边形. 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的. 师：我们把上述规律作为本章的第 4 个公理. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 师：现在请大家思考公理 4 是否可以推广，它有什么作用. 生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行. 师（肯定）下面我们来看一个例子 观察图，在长方体 ABCD ABCD 中，ADC 与ADC，ADC 与ABC 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：从图中可以看出， ADC = A DC， ADC + A BC=180 师：一般地，有以下定理：这个定理可以用公理
6、4 证明，是公理 4 的一个推广，我们把它称为等角定理. 师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明. 师：在图中 EH、FG 有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路. 培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识. 通过分析和引导，培养学生解题能力.探索新知 3异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的概念. 已知两条异面直线 a、b，经过空间任一点 O 作直线 aa ，bb，我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). （2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂
7、直的异面直线 a、b，记作 ab.例 3 如图，已知正方体 ABCD AB CD.（1）哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？（2）直线 BA和 CC的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线 AA垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC、DD、DC、B C所在直线分别与直线 BA是异面直线.（2）由 BBCC 可知，B BA为异面直线 B A 与 CC的夹角，BBA= 45.（3）直线 AB、BC、CD、DA、A B、BC 、CD、D A分别与直线 AA垂直. 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直
8、线的相互位置决定的，与点 O 的位置选取无关；两条异面直线所成的角；因为点 O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点 O 选在两条异面直线的某一条上；找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线） ，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线 a 和b 互相垂直，也记作 ab；以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和
9、转化化归以能力.随堂练习 1填空题：（1）如图，AA是长方体的一条棱，长方体中与 AA平行的棱共有 条.（2）如果 OAOA，OBOB ，那么AOB 和AO B .答案：（1）3 条. 分别是 BB，CC，DD ；（2）相等或互补.2如图，已知长方体 ABCD AB CD中，AB = ，AD = ，AA =2.（1）BC 和 AC 所成的角是多少度？（2）AA 和 BC 所成的角是多少度？ 学生独立完成答案：.2 （1）因为 BCBC，所以BC A 是异面直线 AC与 BC 所成的角. 在RtA BC 中，AB = ，B C= ，所以BCA = 45.（2）因为 AABB ，所以B BC是异面
10、直线 AA 和 BB 所成的角.在 Rt BBC中，BC = AD = ，BB = AA=2，所以 BC= 4，BBC = 60.因此，异面直线 AA与 BC所成的角为 60. 归纳总结 1空间中两条直线的位置关系.2平行公理及等角定理.3异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力附加例题 例 1 “a、b 为异面直线”是指：ab = ，且 ab；a 面 ，b 面 ，且 ab = ；a 面 ，b 面 ，且 = ；a 面 ，b 面 ；不存在面 ，使 a 面 ，b 面 成立
11、.上述结论中，正确的是（ ）A正确 B正确C仅正确 D仅正确【解析】 等价于 a 和 b 既不相交，又不平行，故 a、b 是异面直线；等价于 a、b 不同在同一平面内，故 a、b 是异面直线.故选 D例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50，P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是 30的直线有且仅有 条. 【解析】如图所示，过定点 P 作 a、b 的平行线a、b，因 a、b 成 50角，a 与 b也成 50角.过 P 作APB的平分线，取较小的角有APO = BPO = 25.APA APO ，过 P 作直线 l 与 a、b成 30角的直线有 2 条.例 3 空间四边形 ABCD，已知 AD =1，BD = ，且 AD BC，对角线 BD = ，AC = ，求AC 和 BD 所成的角。【解析】取 AB、AD、DC、BD 中点为 E、F、G 、M，连 EF、FG、GM、ME、EG.则 MG EM ADBC EMMG在 R tEMG 中，有 在 RFG 中， EF = EF 2 +FG 2 = EG 2EFFG，即 ACBDAC 和 BD 所成角为 90.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是 .文章来 源莲山课件 原文地址：http:/
