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1、辽宁省六校协作体2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数(是虚数单位)的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据复数虚部的概念可知,虚部为.2.已知集合, ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意,故.3.若点在直线上,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于点在直线上,将点的坐标代入直线方程得,故.4.已知数列为等差数列,若,则数列的前项和( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】.5.设表示平面, 表示直线,则下列
2、命题中,错误的是( )A. 如果,那么内一定存在直线平行于B. 如果, , ,那么C. 如果不垂直于,那么内一定不存在直线垂直于D. 如果,那么内所有直线都垂直于【答案】D【解析】由上图可得选项A中: 内存在直线 ,故A正确;选项B中:直线 即为直线 ,故B正确;选项C中:可用反证法假设存在直线,与已知矛盾,故C正确;选项D中: ,故D错误.综上应选D. 6.某空间几何体的三视图如图所示,图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形,腰长为4,俯视图中的四边形为正方形,则这个几何体的体积是( ) A. B. C. 16D. 32【答案】A【解析】有三视图可知,该几何体为四棱锥,故体积为.7.已
3、知平面向量,满足,且,则向量与夹角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设可得,即,也即,因向量夹角的范围是,故,应选答案D。8.在平面内的动点满足不等式,则的最大值是( )A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】A【解析】可行域为一个三角形 及其内部,其中,因此直线过点A时取最大值6,选A.9.设抛物线的焦点为,倾斜角为钝角的直线过点且与曲线交于两点,若,则的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意,抛物线焦点为,直线的斜率存在,设直线方程为,代入抛物线方程并化简得,故,故,解得.点睛:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查过抛物线焦点的直线和抛
4、物线相交所得弦长公式,考查韦达定理的应用.对于抛物线,过焦点的直线和抛物线相交,所得弦长,其中是两点的横坐标.要求出则需联立直线的方程和抛物线的方程,消去后利用韦达定理得到.10.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽,是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人,他创立了“割圆术”,得到了著名的“徽率”,即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图,则输出的的值为( )(参考数据:)A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】执行运算程序,进入循环:第一次:,不满足;第二次:,不满足第三次:,满足,退出循环,输出的值.故选B.11.设, (
5、 )A. 4B. 5C. 6D. 10【答案】B【解析】由于,故原式.点睛:本题主要考查函数变换,考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律:第一个自变量和最后一个自变量的和为,第二个自变量和倒数第二个自变量的和为,依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数,通过计算可知,手尾两项的和为,由此求得表达式的值.12.设函数在上存在导函数,对于任意的实数,都有,当时,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:不妨取,故选A.考点:1、函数的导数;2、函数与不等式.【方法点晴】本题函数的导数、函数与不等式,涉及分函数与不等式思想、特殊与一般思想和转化化归思想,考
6、查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型. 利用特殊与一般思想,不妨取特殊函数,本解法;利用特殊与一般思想解题具有四两拨千斤的功效.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.曲线在点处切线方程为_.【答案】【解析】,由点斜式得,化简得.14.设样本数据标准差为4,若,则数据的标准差为_.【答案】8【解析】由于.15.已知,则“”是“”的_条件(选填:“充分不必要”;“必要不充分”;“充要”;“既不充分也不必要”).【答案】既不充分也不必要【解析】如果两个角为直角,则它们的正切值不存在,反过来,如果两个角的正切值相等,它们可能相差,故反之不成立.综上所述,应填既不
7、充分也不必要条件.16.三角形中,角所对边分别为,已知,且,则三角形外接圆面积为_.【答案】【解析】依题意有,故外接圆面积为.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知向量,设函数.(1)求函数的最小正周期和其图象的对称中心;(2)当时,求函数的值域.【答案】(1) , . (2)【解析】解:(1),则的周期,图象的对称中心为.(2),18.图1,平行四边形中,现将沿折起,得到三棱锥(如图2),且,点为侧棱的中点. (1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)在的角平分线上是否存在点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析;(2);(3).【
8、解析】试题分析:()由平面几何知识先证明,再由线面垂直的判定的定理可得平面,从而得,进而可得平面,最后由由线面垂直的判定的定理可得结论;()由等积变换可得,进而可得结果;()取中点,连接并延长至点,使,连接,先证四边形为平行四边形,则有,利用平面几何知识可得结果.试题解析:()证明:在平行四边形中,有,又因为为侧棱的中点,所以;又因为,且,所以平面. 又因为平面,所以;因为,所以平面, 又因为平面,所以平面平面 ()解:因为,平面,所以是三棱锥的高,故, 又因为,,,所以,所以有 .()解:取中点,连接并延长至点,使,连接,.因为,所以射线是角的角分线. 又因为点是的中点,所以,因为平面, 平
9、面,所以平面. 因为、互相平分,故四边形为平行四边形,有.又因为,所以有, 又因为,故.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图1)和女生身高情况的频率分布直方图(图2).已知图1中身高在170175cm的男生人数有16人. (1)根据频率分布直方图,完成下列的列联表,并判断能有多大(百分比)的把握认为“身高与性别有关”?总计男生身高女生身高总计(2)在上述80名学生中,从身高在170-175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法,抽出5人,从这5人中选派3人当旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.0.0250.6100.0
10、050.0015.0244.6357.87910.828参考公式及参考数据如下: 【答案】(1) 见解析;(2).【解析】试题分析:(1)利用除以对应的频率,可得到男生的人数,总人数减去男生的人数得到女生的人数.利用频率可计算得男生、女生身高超过的人数,并填写好表格,理由利用公式计算得的值,比较后可知能有的把握.(2)依题意可知男生4人,女生1人,利用列举法得出基本事件的总数和符合题意事件的总数,并计算得概率.试题解析:(1) 男生人数: ,女生人数: ,男生身高的人数,女生身高的人数,所以可得到下列列联表:总计男生身高301040女生身高43640总计344680 , 所以能有的把握认为身高
11、与性别有关;(2)在之间的男生有16人,女生人数有4人.按分层抽样的方法抽出5人,则男生占4人,女生占1人.设男生, , , ,女生为.从5人任选3名有: , , , , , , , , , ,共10种可能, 3人中恰好有一名女生有: , , , , , 共6种可能,故所求概率为.点睛:本题主要考查频率分布直方图的信息读取和计算,考查列联表独立性检验,考查利用列举法求解古典概型问题的方法.第一问利用频率分布直方图可求得频率,根据频率可计算出总人数和每组的人数,进而填写好联表,并计算得到有多大的把握.用列举法解古典概型主要做到列举时要不重不漏.20.已知椭圆的离心率,右焦点到右顶点的距离为1.(
12、1)求椭圆的方程;(2)两点为椭圆的左右顶点,为椭圆上异于的一点,记直线,斜率分别为,求的值.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)直接列 的方程求解即可;(2)由两点的斜率式易得,由点在椭圆上化简即可.试题解析:(1)由题有,解得,所以,所以椭圆的方程为.(2)由(1)有两点坐标为,设坐标,则直线,斜率分别为,所以,又因为点在椭圆上,所以,化为,所以.点睛:在椭圆中,是关于原点对称的两点, 是椭圆上异于 的一点,若 存在,则有.21.已知求的单调区间和极值;若对任意,均有恒成立,求正数a的取值范围【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)求导通分后,对分成两类,讨论函数
13、的单调区间和极值.(2)化简圆不等式为对任意成立.由(1)知 ,由此求得.试题解析:解:(1).i)时,即在为增函数,无极值ii),在有极小值,无极大值的极小值.(2),对恒成立由(1)可知. .点睛:本题主要考查导数与函数单调区间、极值的求法,考查不等式恒成立问题的转化方法.第一问要求函数的单调区间和极值,先求函数的定义域,然后求导并通分,通分后分子是含有参数的一次函数,故要对进行分类讨论.第二问可将原不等式转化为第一问的结论来证明.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极
14、坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为(1)若的参数方程中的时,得到点,求的极坐标和曲线的直角坐标方程;(2)若点,和曲线交于两点,求【答案】(1)见解析;(2)【解析】【试题分析】(1)借助直角坐标与极坐标之间的互化公式求解;(2)依据题设晕用直线参数方程中参数的几何意义分析探求。(1)点的直角坐标为点极坐标为曲线直角坐标方程为(2)联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程得:则23.设函数(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式有解,求实数的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)由条件利用绝对值的意义求得不等式f(x)1解集;(2)根据题意可得|x+2|-|x-1|+4|1-m|有解,即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|,再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值