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1、滨海中学2009年春学期高二年级期末考试数 学 试 题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1=_2命题“”的否定是_3 设、，则是的 条件4在的展开式中，的系数为 5已知等差数列an,其中则n的值为 6若均为锐角， 则 2-2O62xy7若椭圆的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则椭圆的离心率是_8函数的部分图象如图所示，则 9已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 10从1到10十个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有_种11若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是 12.一只蚂蚁在边长分别为的三角形区
2、域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 13已知数列满足（为正整数）且，则数列的通项公式为 14曲边梯形由曲线所围成，过曲线上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是_二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分） 在中，（）求边的长度；（）若点是的中点，求中线的长度16、（本小题满分14分）已知：命题集合，且（I）若命题q为真命题，求实数 的取值范围；（II）若命题，且，试求实数 的取值范围，使得命题有且只有一个为真命题17、（本小题满分14分）已知椭
3、圆一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为（I）求这个椭圆的方程；（II）若圆C经过A、两点，且与直线相离，求圆C的半径的取值范围。 18、（本小题满分16分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元.（）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（）求博物馆支付总费用的最小值；（）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四
4、棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于1.1米，高规定为2米. 当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩底面积的最小值（可能用到的数据：，结果保留一位小数）19、（本小题满分16分）已知函数 （I）求的极值； （II）若的取值范围； （III）已知20、（本小题满分16分）设，等差数列中,，记Sn=,令，数列的前n项和为Tn。（）求的通项公式和；（）求证：；（）是否存在正整数m,n,且1m0解得c=1(3分)又b=1,故（6分）椭圆方程为（7分）（2）A的中垂线方程为y=x，故可设圆心C（t,t）（9分）解得（12分）， r（14分） 18解：（1）（或）（）（2）当且仅当
5、，即V=4立方米时不等式取得等号所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元（3）解法1：由题意得不等式： 当保护罩为正四棱锥形状时，代入整理得：，解得；当保护罩为正四棱柱形状时，代入整理得：，解得又底面正方形面积最小不得少于，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米 解法2. 解方程，即得两个根为由于函数在上递减，在上递增，所以当时，总费用超过8000元，所以V取得最小值 由于保护罩的高固定为2米，所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小， m2 又底面正方形面积最小不得少于，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米
6、 19解：（）令得 当为增函数；当为减函数，可知有极大值为 （）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，（），由上可知在上单调递增， ， 同理 两式相加得 20解:（）设数列的公差为，由 , ,解得，=3 Sn=() ()由(2)知， ， 成等比数列 即当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列。综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列。三、附加题21(1)法一：特殊点法在直线上任取两点（2、1）和（3、3），1分则即得点
7、 3 分即得点将和分别代入上得则矩阵 6 分则 10 分法二：通法设为直线上任意一点其在M的作用下变为1分则3分代入得：其与完全一样得则矩阵 6分则 10分21(2)设二项式系数之和为4分令得再令得即为奇数项系数之和6分22解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0） cos 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是 （II），设平面ABE的法向量为，则由，得取n（1，2，2），平面BEC的一个法向量为n2（0，0，1）， 由于二面角ABEC的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是23解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得 所以三等品率最多为0.03- 3 -
