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1、函数概念的演进1.早期函数概念几何观念下的函数17世纪伽俐略(GGalileo,意,1564-1642)在两门新科学一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,并用文字和比例的语言表达了函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼茨建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年,莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有
2、关几何量。与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用 “流量”来表示变量间的关系。 2.18世纪函数概念代数观念下的函数1718年,约翰贝努利(Johann Bernoulli,瑞士,1667-1748)在莱布尼茨函数概念的基础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示。 1755年,欧拉(LEuler,瑞士,1707-1783) 把函数定义为“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数” ,“一个变量的函数是由这个变量
3、和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”。不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3.19世纪函数概念对应关系下的函数1821年,柯西(Cauchy,法,1789-1857) 从定义变量起给出了定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫做自变量,其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词,同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是
4、一个很大的局限。 1822年,傅里叶(Fourier,法国,1768-1830)发现某些函数可以用曲线表示,也可以用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年,狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859) 突破了这一局限,认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个确定的值,那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述,以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托尔(Cantor,德,1845
5、-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,奥斯瓦尔德维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的局限,变量可以是数,也可以是其他对象。 4.现代函数概念集合论下的函数1914年,豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数,其避开了意义不明确的“变量”“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义更严谨了。 1930年,新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。”- 2 -