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1、浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019学年高二数学上学期期末模拟试题（二）考试时间：100分钟 满分:120分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1双曲线的渐近线方程是（ ）A B C D2已知一个平行四边形的直观图是一个边长为的正方形，则此平行四边形的面积为（ ）A B C D 3已知正方体，则与所成的角为A B C D 4已知直线l：在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）A 1 B 1 C 2或1 D 2或15设P是圆上的动点，则点P到直线
2、的距离的最大值为A B C D 6已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则有下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中所有正确的命题是（ ）A B C D 7已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）A B C D 8已知动点在椭圆上,若点坐标为,且则的最小值是（ ）A B C D9如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）A 36 B 42 C 49 D 5010已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折
3、成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A 在线段上存在一定点，使得的长度是定值B 点在某个球面上运动C 存在某个位置，使得直线与所成角为D 对于任意位置，二面角始终大于二面角二、填空题（本题有6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共28分）11抛物线的准线方程为 12已知直线，则直线过定点_，当变动时，原点到直线的距离的最大值为_.13若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是_.14某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于_；表面积等于_15已知是圆上一点，且不在坐标轴上， ， ，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的
4、最小值为_16双曲线的左、右焦点分别为，点，分别在双曲线的左右两支上，且，线段交双曲线于点，则该双曲线的离心率是 _三、解答题（本题共有4小题，共52分）17（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， , ,分别为的中点.（）证明：直线；（）求三棱锥的体积.18（本题满分12分）一动圆与圆相外切，与圆相内切.(1）求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线。(2）过点作一直线与曲线E交与A,B两点，若，求此时直线的方程.19（本题满分14分）如图，在多面体中，四边形为矩形，均为等边三角形，（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求
5、直线与平面所成角的正弦值20（本题满分14分）已知曲线T上的任意一点到两定点的距离之和为，直线l交曲线T于A、B两点，为坐标原点.（1）求曲线的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若OAOB，求面积的取值范围.参考答案与试题解析题号12345678910答案CBCCAACBBC11. 12. 13. 14. ， 15. 8 16. 1C【解析】将双曲线化为，以0代替1得： ，即，即。故选。2B【解析】根据直观图的画法可得结论 ，直观图的面积为9，所以平面图形的面积为故选B3C【解析】如图，在正方体中，连，则得，即为异面直线与
6、所成的角在中，由题意得，即与所成的角为故选C4C【解析】当时，直线方程为，显然不符合题意，当时，令时，得到直线在轴上的截距是，令时，得到直线在轴上的截距为，根据题意得，解得或，故选C.5A【解析】依题意可知：圆的圆心，半径为1，圆心到直线的距离：故点P到直线的距离的最大值是：故选：A6A【解析】因为，所以，由可知，故正确，可能在内或与平行，推不出，故错误，可推出,又，所以，故正确, 若相交交线为m,则，推不出，故错误.综上可知选A.7C【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的表面积，选C8B【解析】由可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半
7、径的圆，过点P作该圆的切线PM，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，要使得的值最小，则要的值最小，而的最小值为a-c=2， 此时，故选B9B【解析】设抛物线方程为由抛物线过定点得，抛物线方程，焦点为，圆的标准方程为圆心为，半径，由于直线过焦点，可设直线方程为，设，又，时等号成立，的最小值为，故选B.10C【解析】不妨设，取中点，易知落在线段 上，且,所以点到点的距离始终为，即点在以点为球心，半径为的球面上运动，因此A、B选项不正确；对于C选项，作可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，易知与落在同一个轴截面上时， 取得最大值，则的最大值为，此时落在平面上，所以
8、，即与所成的角始终小于，所以C选项不正确；对于D选项，易知二面角为直二面角时，二面角始终大于二面角，当二面角为锐二面角时，如图所示作平面与点，然后作分别交于，则二面角的平面角为，二面角的平面角为，且，又因为，所以，所以二面角始终大于二面角，故选D.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.11【解析】根据已知中抛物线，且焦点在y轴上，那么利用y轴上的准线方程，由于开口向上，因此准线方程为,故答案为。12 【解析】由可得所以直线
9、恒过点，在所有过点的直线中，当与原点和的连线垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为.13【解析】如图所示：曲线，即（ 1y3，0x4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得，b=1+，或b=1-结合图象可得1-b3 14， 【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥图中长方体中为棱的中点，到的距离为，四棱锥体积为，四棱锥的表面积为，故答案为(1) ， (2) .158【解析】设点，则直线PA的方程： ，则 同理，则 的最小值为8.16【解析】根据题意画出图形如图所示由题意得，由，可设，可得点的坐标为点在双曲线上，消去整理得，离心率17
10、（I）详见解析；（II）.【解析】（）证明：取的中点，连，为的中点，又，为平行四边形，（），为的中点，点又，即三棱锥的体积为18（1） ，椭圆（2）【解析】解：（1）设动圆圆心的坐标为，半径为r又内切和外切的几何意义 所以所求曲线轨迹为椭圆，方程为： （2）设直线方程为直线与椭圆交与A ， B 联立方程组把直线方程代入椭圆方程化简整理得 又弦长公式，代入解的所以直线方程为19（1）当为线段的中点时，使得平面（2）【解析】（1）当为线段的中点时，使得平面证法如下：连接，设，四边形为矩形，为的中点，又为的中点，为的中位线，平面，平面，平面，故为的中点时，使得平面（2）过作分别与，交于，因为为的中点
11、，所以，分别为，的中点，与均为等边三角形，且，连接，则得， ，四边形为等腰梯形取的中点，连接，则，又，平面，过点作于，则， ，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，设是平面的法向量，则即所以可取，由，可得，直线与平面所成角的正弦值为20（1）（2）证明过程详见解析（3） 【解析】解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， 设其标准方程为，则有，所以， .（2）证明：设直线的方程为，设则由 可得，即， ，直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 （3）当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：， 点，由 可得，代入得 ，同理可得， 令，则 由知 ，综上可知， .- 15 -
