1高等代数(绪论).ppt

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1、高等代数 喀什大学数学与统计学院汪仲文wangzw 汪仲文 教授 博士 硕士研究生导师 数统学院副院长 喀什师范学院首届 教学名师 任课教师 本科 1994年毕业于喀什师范学院数学系 硕士 2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院 博士 2010年毕业于南开大学数学科学学院 办公地点 3号楼210室办公电话 2891005电子信箱 wangzw 辅导答疑 星期五 双周5 6 二 代数发展简史 三 高等代数的基本内容和特点 四 高等代数与其他学科的关系 一 课程简介 绪论 五 学习方法与要求 六 课程资源 1 高等代数是数学系各专业的一门重要必修课 高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程以及

2、有关选修课程的基础 一 课程简介 代数学 几何学 分析数学是数学的三大基础学科 数学的各个分支的发生和发展 基本上都是围绕着这三大学科进行的 大学数学系的主要基础课 泛函分析 近世代数 一般拓扑学 新三基 数学分析 高等代数 解析几何 老三基 数学大厦的基石 公理化方法 康托儿 1845 1918 出生于俄国的德国数学家 创立了现代集合论 作为实数理论和微积分理论体系的基础 以至于成为整个现代数学的基础 但其成果当时得不到认可 并受到众多数学家的攻击 患忧郁症 最后发疯 在德国哈勒大学附属医院去世 大卫 希尔波特 1862 1943 出生于德国的数学家 是二十世纪的数学大师 19世纪80年代

3、数学家创立了集合论并将整个数学建立在此基础上 但集合悖论的出现引起数学危机 他于1925年提出公理化的思想方法 解决了这一危机 开创了现代数学 代数结构 集合上研究代数运算 如 集合R上的加 减 乘 除运算 高等代数 近世代数等 序结构 集合上的顺序关系 如 数的大小 个子的高矮等 序代数 格论等 拓扑结构 集合上连续性等 如 曲线与直线的关系 数学分析 点集拓扑 代数拓扑等三大结构的相互重叠 组合构成各个不同的数学分支 构成现代数学这座高楼大厦 数学发展到现在 已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的 共和国 大体说来 数学中研究数的部分属于代数学的范畴 研究形的部分 属于几何学

4、的范畴 沟通形与数且涉及极限运算的部分 属于分析学的范围 这三大类数学构成了整个数学的本体与核心 在这一核心的周围 由于数学通过数与形这两个概念 与其它科学互相渗透 而出现了许多边缘学科和交叉学科 2 设置本课程的目的 开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的概念 理论和方法 同时还对学生进行的 三个基本 训练和 一个初步 训练 即 代数学基本思想的训练 代数学基本方法的训练 代数学基本计算的训练以及综合运用分析 几何 代数方法处理问题的初步训练 学生学好这门课程的基础内容和方法 对今后的学习 研究和应用具有重要的作用 代数 一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家 天文学家阿尔 花拉子米 约78

5、0 850 唐朝 一本著作的名称 书名的阿拉伯文是 ilmal jabrwa lmuquabalah 直译为 还原与对消的科学 al jabr意为 还原 或 移项 这里指把负项移到方程另一端 还原 为正项 muquabalah意即 对消 或 化简 指方程两端可以消去相同的项或合并同类项 在翻译中把 al jabr 译为拉丁文 aljebra 拉丁文 aljebra 一词后来被许多国家采用 英文译作 algebra 阿尔 花拉子米的 代数学 也可以看成是 方程的科学 二 代数发展简史 1859年 我国数学家李善兰 1811 1882 首次把 algebra 译成 代数 后来清代学者华蘅芳和英国人

6、傅兰雅合译英国瓦里斯的 代数学 卷首有 代数之法 无论何数 皆可以任何记号代之 亦即 代数 就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法 古希腊数学家丢番图 Diophantus 约公元246 330年 用文字缩写来表示未知量 在三世纪中叶丢番图写了一本数学巨著 算术 其中他引入了未知数的概念 创设了未知数的符号 并有建立方程的思想 故有 代数学之父 的称号 代数是巴比伦人 希腊人 阿拉伯人 中国人 印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就 发展至今 它包含算术 初等代数 高等代数 数论 抽象代数五个部分 初等代数从最简单的一元一次方程开始 一方面进而讨论二元及三元的一次方程组 另一方面研究二

7、次以上及可以转化为二次的高次方程 沿着这两个方向继续发展 代数在讨论任意多个未知数的一次方程组 线性方程组 的同时 还研究次数更高的一元方程 发展到这个阶段 就叫做高等代数 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法 关于三次方程 我国在公元七世纪 也已经得到了一般的近似解法 这在唐朝数学家王孝通所编的 缉古算经 就有叙述 到了十三世纪 宋代数学家秦九韶在他所著的 数书九章 这部书的 正负开方术 里 充分研究了数字高次方程的求正根法 也就是说 秦九韶那时候就得到了高次方程的一般解法 在西方 直到十六世纪初的文艺复兴时期 才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式 Cardan公式

8、在数学史上 三次方程的根的公式应归功于从1496到1526年在意大利的波伦亚 Bologna 大学当教授的ScipionedelFerro 他发现的精确年代并不知道 但是我们知道在1541年前不久 意大利数学家塔塔里亚 NiccoloTartaglia 或许已知道有delFerro的解但又独自地发现了它 后来被米兰地区的数学家卡尔达诺 GerolamoCardano1501 1576 骗到了这个三次方程的解的公式 在 大术 ArsMagna 1545 中公开发表 就是通常所说的解三次方程的 Cardan公式 塔塔里亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是x3 sx2 tx u 0如

9、果作一个横坐标平移y x s 3 那么我们就可以把方程的二次项消去 所以我们只要考虑形如y3 py q 0的三次方程 假设方程的解y可以写成y a b的形式 这里a和b是待定的参数 代入方程 我们就有a3 3a2b 3ab2 b3 p a b q 0整理得到a3 b3 a b p 3ab q令3ab p 0 则a3 b3 q 两边各乘以27a3 就得到27a6 27a3b3 27a3q 0 由p 3ab可知27a6 27qa3 p3 0这是一个关于a3的二次方程 所以可以解得a 进而可解出b和根x 三次方程被解出来后 一般的四次方程很快就被Cardano的助手意大利的费拉里 LudovicoF

10、erarri 1522 1565 在1540年给出 而由Cardano在 大术 ArsMagna 1545 中公开发表 费拉里发现的一元四次方程的解法 和三次方程中的做法一样 可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项 所以只要考虑下面形式的一元四次方程 x4 px2 qx r关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式 考虑一个参数a 我们有 x2 a 2 p 2a x2 qx r a2等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0 即q2 4 p 2a r a2 这是一个关于a的三次方程 利用上面一元三次方程的解法 我们可以解出参数a 这样原方程两边都是完全平方式 开方后就是一个关于

11、x的一元二次方程 于是就可以解出原方程的根x 很自然的 数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法 从十六世纪中叶到十九世纪初 这个问题耗费了许多数学家的时间和精力 当时一些最杰出的数学家 例如Euler和Lagrange 曾做过一些尝试 但一直都没有被解决 Lagrange所做的大大地超过了其他所谓的五次方程的解答者 他给出了三次和四次方程存在根式解的原因 是这些方程的求解能简化为解较低次的 预解 方程 另一方面 他发现同样的方法应用于五次方程却导致一个六次的预解式 这就有可能有力的暗示次数高于四次的方程一般不能用公式求解 到了十九世纪初 挪威的一位青年数学家阿贝尔 Abel 180

12、2 1829 受高斯处理二项方程 形如xp a的方程 p为素数 的方法的启示 研究五次以上代数方程的求解问题 于1824年 证明了五次及五次以上的一元n次方程没有一般的求根公式 即这些方程的根不能用方程的系数通过加 减 乘 除 开方这些代数运算表示出来 阿贝尔的这个证明不但比较难 而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题 他还发现一类能用根式求解的特殊方程 这类方程现在称为阿贝尔方程 阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性 由于他的早逝而未能完成这项工作 五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题 由法国的一位青年数学家伽罗华 Galois 1811 1832 于1830年

13、1月彻底解决了 他给出了五次或五次以上的一元n次方程的可解条件 伽罗华的工作不仅解决了方程具有代数解的等价条件 更重要的是第一次在方程研究中引进了一个非常新的概念 群 这一理论在整个数学以及近代物理化学 量子化学中都产生了重大的影响 伽罗华的工作使代数学乃至整个数学来了个划时代的变革 从此 代数学不再以方程理论为中心内容 而转向对代数系统性质的研究 促进了代数学的进一步的发展 现在 可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说 但字母的含义是在不断地拓广的 在初等代数中 字母表示数 而在高等代数和抽象代数中 字母则表示向量 或n元有序数组 矩阵 张量 旋量 超复数等各种形式的量 可以说 代数已经

14、发展成为一门关于形式运算的一般学说了 一个带有形式运算的集合称为代数系统 因此 代数是研究一般代数系统的一门科学 1 基本内容 三 高等代数的基本内容和特点 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称 它包括许多分支 现在大学里开设的高等代数 内容大致可分为三大部分 多项式理论 多项式是中学所学的整式概念的延伸 线性代数的代数理论 线性代数的几何理论 多项式理论以数域上一元多项式因式分解理论为中心内容 线性代数的代数理论以矩阵理论 线性方程组理论为重要内容 线性代数的几何理论主要以线性空间上的线性变换贯穿始终而成为核心内容 多项式 矩阵成为后面各章节内容的最重要工具 本课程的内容包括 多项式 行列式

15、 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 欧氏空间 具有度量的线性空间 等 第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 矩阵的对角化问题 第六章 二次型 第七章 线性空间与线性变换 第八章 欧氏空间 高等代数的特点 1 逻辑的严密性2 高度的抽象性3 应用的广泛性 高等代数是大学数学专业的一门基础课 它的大部分内容均属基本知识和基础理论 进入大学 学习和中学有很大的不同 这种不同不仅表现在内容的深度上 更重要的是表现在观点和方法上 这门课程将体现由具体事物抽象出一般概念 再从一般概念回到具体事物的这种辩证观点和严格的逻辑推理方法 使学生理解如何把数学对象抽象

16、为数学结构的思想方法 四 代数学与其他数学基础学科的关系 代数学与几何学 分析数学的区别 首先 代数运算是有限次的 而且缺乏连续性的概念 也就是说 代数学主要是关于离散性的 尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的 但是为了认识现实 有时候需要把它分成几个部分 然后分别地研究认识 再综合起来 就得到对现实的总的认识 这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段 也是代数学的基本思想和方法 代数学注意到离散关系 并不能说明这是它的缺点 时间已经多次 多方位的证明了代数学的这一特点是有效的 其次 代数学除了对物理 化学等科学有直接的实践意义外 就数学本身来说 代数学也占有重要的地位 代数学中发生的许多新的思想和概念 大大地丰富了数学的许多分支 成为众多学科的共同基础 五 学习方法与要求 1 课前认真预习 弄清这次课的主要内容及它与上次课的联系 2 在课堂上认真听讲 做好课堂笔记 3 课后及时复习 把上课的内容和笔记认真地看一遍 然后独立完成作业 每一章学完后 要及时进行小结 4 对作业中出现的错误要及时订正 对不懂的问题要尽快弄懂 不许抄袭作业 无特殊原因 作业必须按规定时间交上来 5R笔记