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1、1.3.3 全称命题与特称命题的否定一、创设情境 “所有”、 “任意”、等与“存在着”、“有”、 “至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；（3）xR，x2-2x+10分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；（2），否定：存在一个素数不是奇数；（3），否定：$xR，x2-2x+10；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3
2、）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：,四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题P为：$xM,使P（x）不成立。存在性命题P：$xM，使P（x）成立；其否定命题P为： xM,有P（x）不成立。用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: $M, P（x）P:$M, p(x）否定为 P: M, P（x）2.关键量词的否定词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-
3、1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立五、巩固运用例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2x+10；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$ xR，x2x+10；解：（1） P：有的人不晨练；（2）$ xR，x2x+10；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2x+10；例2 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-1
4、2=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x3，则x29”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x24 则x2.。 （2） 若m0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数，虽然满足4，但2。或者说：存在小于或等于2的数，满足4。（完整表
5、达为对任意的实数x, 若x24 则x2）（2）否定：虽然实数m0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若xy,则5x5y；（2）p：若x2+x2,则x2-x2；（3）p：正方形的四
6、条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实解集，则a2-4b0。解：（1） P：若 xy，则5x5y； 假命题 否命题：若xy，则5x5y；真命题（2） P：若x2+x2，则x2-x2；真命题 否命题：若x2+x2，则x2-x2）；假命题。 （3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b0有非空实解集，但使a2-4b0。假命题。 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b0没有非空实解集，则a2-4b0。真命题。作业（练
7、习）1.已知命题则的否定形式为2.命题“，”的否定是 3.若命题是假命题，则实数a的最小值为 4.下列有关命题的叙述错误的是（ ）A对于命题 p：xR， ，则为： xR，B命题“若3x + 2 = 0，则 x = 1”的逆否命题为“若 x1，则3x+20”C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题D“x 2”是“ 3x + 2 0”的充分不必要条件5.已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 6.已知两命题，命题 ，均是真命题，则实数的取值范围是 ( )ABCD7.为假命题,则的取值范围为（ ）A B. C. D. 8.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围
8、是A2，6B-6，-2C（2，6）D（-6，-2）9.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A B. C. D. 10.下列命题中为真命题的是（）ABCD11.下列特称命题中真命题的个数是（ ） 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 A、0 B、1 C、2 D、312.平面向量，共线的充要条件是 A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 C. ，使得 D. 存在不全为零的实数，13.下列命题中，真命题是： （ ）A BCa+b=0的充要条件是=-1 Da1,b1是ab1的充分条件14.已知p：存在，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围是A1，+）B（一，一1 C（一，一2 D一l，115.若命题p:R是真命题,则实数a的取值范围是 16.若命题:R，2axa0”为假命题，则的最小值是_17.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 18.若“，使”为真命题，则实数的取值范围是 .19.已知命题：“xx|1 x 1，使等式x2xm = 0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围. 20.已知命题p：“x1,2，x2ln xa0”与命题q：“x0R，x2ax086a0”都是真命题，求实数a的取值范围- 4 - / 4
