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1、“化圆为方”问题（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯，他因“不敬神”的罪名被捕入狱，在狱中潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰 、希皮亚斯等人。 标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一成功。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段的问题。18
2、82年法国数学家林德曼（18521939）证明了是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为的线段，但并非代数数，故此标尺不可作。 二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的“穷竭法”，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、边形，他相信“最后”的正多边形必与圆周重合，这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家达芬奇（14521519）用已知圆为底，圆半径的为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，如图， 所以所得矩形的面积 ，然后再将矩形化为等积的正方形即可。注古代数学史上有世界三大难题（倍立方体、化圆为方、三分角）。1、“立方倍积”要求用尺规法作一立方体，使其体积为原立方体体积的两倍。2、“三分角” 要求用尺规法三等分任意角。3、“化圆为方”要求用尺规法作出一个正方形，其面积与一已知圆的面积相等。- 1 -
