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1、 2 5多项式的整除 设F是一个数域 F x 是F上一元多项式环 一 多项式整除的定义与性质 多项式整除的定义定义 令f x 和g x 是数域F上多项式环F x 的两个多项式 如果存在F x 的多项式h x 使g x f x h x 则称f x 整除 能除尽 g x 记为f x g x 此时称f x 是g x 的因式 g x 是f x 的倍式 否则 则称f x 不整除g x 记作f x g x 注 1 f x g x 不能写作f x g x 以免与分式混淆 2 整除性不是多项式的运算 它只是F x 元素间的一种关系 3 若f x g x 则 f x g x 4 若f x g x 则对任意h x
2、 F x g x f x h x 均不成立 问题 1 零多项式能否整除零多项式 2 任意非零多项式能否整除零多项式 3 零多项式能否整除任意非零多项式 4 零次多项式能否整除任意多项式 5 零次多项式能否被任意多项式整除 分析 1 因 h x F x 均有0 0h x 成立 故0 0有意义 2 对 0 f x F x 不存在0 h x F x 使0 f x h x 成立 欲使0 f x h x 成立 只有h x 0 3 对 0 f x F x 不存在h x F x 使f x 0h x 成立 4 对 f x F x 0 C F 均有f x C f x 5 对 g x F x 0 C F 若存在h
3、 x F x 使C g x h x 则g x 与h x 均为零多项式 结论 1 零多项式能整除且仅能整除零多项式 2 零多项式能被任意多项式整除 即零多项式有任意多高次的因式 3 零次多项式只能被零次多项式整除 4 零次多项式整除任一多项式 多项式整除的基本性质 1 如果f x g x g x h x 那么f x h x 证明 f x g x h1 x F x 使g x f x h1 x 1 g x h x h2 x F x 使h x g x h2 x 2 由 1 2 得h x f x g x h2 x 即f x h x 2 如果h x f x h x g x 那么h x f x g x 证明
4、 h x f x x F x 使f x h x x 1 h x g x x F x 使g x h x x 2 由 1 2 得f x g x h x x x 即h x f x g x 注 此命题的逆命题不一定成立 例1 令h x x g x x 1 g x x 1 有h x f x g x 但h x f x h x g x 3 如果h x f x 那么 g x F x 均有h x f x g x 证明 h x f x x F x 使f x h x x 得f x g x h x x g x 即h x f x g x 注 此命题逆命题不一定成立 例2 令h x x 2 x 3 g x x 2 f x
5、 x 3 有h x f x g x 但h x g x 且h x f x 4 若h x f2 x i 1 2 t 那么 gi x F x i 1 2 t 有h x f1 x g1 x f2 x g2 x fi x gi x 5 每一个多项式f x 都能被cf x 整除 其中0 c F 证明 由f x cf x 可得 注 1 每一个多项式f x 都能整除cf x 其中c F 2 g x f x g x cf x c F g x f x cg x f x 0 c F 即 f x 与cf x c F 有相同的因式 f x 与cf x 0 c F 有相同的倍式 6 若f x g x g x f x 那么
6、f x cg x 其中0 c F 证明 由f x g x x F x 使g x f x x 1 由g x f x x F x 使f x g x x 2 由 1 2 得 f x f x x x 若f x 0 则由 1 知g x 0 从而f x g x 若f x 0 则由 1 知 x x 1 于是 x x 0 从而 x 0 x 0 令 x c 0 c F 则有 f x cg x 说明 若f x 与g x 均有首项系数为1的多项式 则有c 1 f x g x 从而可用此性质判定两首项系数为1的多项式是否相等 带余除法定理定理2 2 1 设f x 和g x 是F x 的任意两个多项式 并且g x 0
7、那么在F x 中可以找到多项式g x 和r x 使f x g x q x r x 这里或者r x 0 或者 r x g x 满足以上条件的多项式q x 和r x 只有一对 此时分别称为f x 除以g x 的商式与余式 证明 先证定理的前一部分 若f x 0或 f x m 令有f1 x f x b0 1a0 xn mg x 则f1 x 0或 f1 x g x 令 F2 x F1 x b0 1a10 xn1 mg x 其中b10是f1 x 的首次系数 则f2 x 0或者 f2 x f2 x f3 x 最后一定存在fk x fk x fk 1 x b0 1ak 1 0 xnk 1 mg x 而fk
8、x 0或 fk x m 于是有等式 f x b0 1a0 xn mg x f1 x f1 x b0 1a10 xn1 mg x f2 x fk 1 x b0 1ak 1 0 xnk 1 mg x fk x 相加得 f x b0 1a0 xn m b0 1a10 xn1 m b0 1ak 1 0 xnk 1 m令g x b0 1a0 xn m b0 1a10 xn1 m b0 1ak 1 0 xnk 1 mr x f x 满足等式 且或者r x 0 或者 r x g x 下证唯一性 假设存在使 3 且或者由 3 得 若是那么 这时等式右边的次数将小于g x 的次数 而等式左边的次数将不小于g x 的次数 这是不可能的 因此必有 因而即 说明 1 若无r x 0或 r x g x 的限制 则使f x g x q x r x 成立的 q x r x 不唯一 此时不能定义商式与余式 也不能判断一个多项式能否整除另外一个多项式 例如 令令2 若b0 1 即g x 的首项系数为1 则带余除法可在数环R的多项式环中进行
