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1、第8讲 函数与方程导 学 目 标:1.函数的零点与方程根的联系,一元二次方程根的存在性及根的个数的判断,B级要求;2.二分法求相应方程的近似解,B级要求知 识 梳 理:1函数零点的定义(1)对于函数yf(x) (xD),把使yf(x)的值为_的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)几个等价关系:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 2函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数yf(x)在区间 内有零点,即存在c(a,b),使得 ,这个 也就是方程f(x)0的根. 3二次函数yax2bx
2、c (a0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数4.二分法(1)定义对于区间a,b上连续不断的,且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法(2)给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度; 求区间(a,b)的中点c; 计算f(c);()若f(c)0,则c就是函数的零点;()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c);()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b)
3、 判断是否达到精确度:即若|ab|,则得到零点近似值a(或b);否则重复. 课 前 自 测:1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ()(2)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0. ()(3)若f(x)在区间a,b上连续不断,且f(a)f(b)0,则f(x)在(a,b)内没有零点()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点. ()(5)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ()(6)函数y2sin x1的零点有无数多个. ()(7)函数f(x)kx1在1,2上
4、有零点,则1k1时,方程f(x)f(a)的实根个数为_.【训练1】(1)根据表格中的数据,可以判定方程exx20的一个零点所在的区间为(k,k1)(kN),则k的值为_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,1时,f(x)x,则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_.【例2】与二次函数有关的零点分布是否存在这样的实数a,使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.【训练2】(1)已知f(x)x2(a21)x(a2)的
5、一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.【例3】函数零点的应用若关于x的方程22x2xaa10有实根,求实数a的取值范围.【训练3】已知函数f(x)若关于x的方程 f 2(x)af(x)0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是_.【例4】函数与方程思想的应用已知函数f(x)x22exm1,g(x)x (x0).(1)若yg(x)m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)f(x)0有两个相异实根.【训练4】 (1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是_
6、课 堂 热 练:1、函数f(x)log2x的一个零点落在区间_ (0,1);(1,2);(2,3);(3,4)2、函数f(x)的零点个数是_3、已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2.若f(x1)x1x2,则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为_4、已知e是自然对数的底数,函数f(x)exx2的零点为a,函数g(x)ln xx2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为_5、(1)设f(x)exx4,则函数f(x)在区间(1,2)内的零点有_个(2)(2014湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x23x.则函数g(x)f(
7、x)x3的零点的集合为_第8讲 函数与方程(课后练习)编制:江海军 审核:黄立斌 邵华川A组专项基础训练(时间:40分钟)一、填空题1.用“二分法”求方程x32x50在区间2,3内的实根,取区间中点为x02.5,那么下一个有根的区间是_.2.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_.3.方程log3xx30的解所在的区间是(k,k1)(kZ),则k_.4.已知三个函数f(x)2xx,g(x)x2,h(x)log2xx的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为_.5.已知函数f(x)2mx4,若在2,1上存在x0,使f(x0)0,则实数m的取值范围是_. 6.定义在R上的奇函数f(x)
8、满足:当x0时,f(x)2 015xlog2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为_.7.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点,则实数m的取值范围是_.8.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3,则不等式af(2x)0的解集是_.二、解答题9.已知函数f(x)x3x2.证明:存在x0(0,),使f(x0)x0.10.已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.B组专项能力提升(时间:35分钟)1.已知f(x1)f(x1),f(x)f(x2),方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x,则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为_.2.已知0a0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0时,有1个零点;无论k为何值,均有2个零点;无论k为何值,均有4个零点.6.已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围. 7.已知a是正实数,函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点,求a的取值范围.7