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1、不等式问题的题型与方法b)M，且对M中的其它元素(c，d)，总有ca，则a=_分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有ca”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)当1y3时，所以当y=1时，xmin=4说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合M中的元素满足关系式例2解关于的不等式： 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两
2、个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当。例3 己知三个不等式： (1)若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=（1） 因同时满足、的值也满足，ABC 设，由的图象可知：方程的小根小
3、于0，大根大于或等于3时，即可满足（2） 因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而说明：同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-，0)和3，+)内，因此有f(0)0且f(3)0，否则不能对AB中的所有x值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a5分析：回忆二次函数的几种特殊形式设f(x)=ax+bx+c(a0) 顶点式f(x)=a(x-x)+f(x)(a0
4、)这里(x，f(x)是二次函数的顶点，x=)、(x，f(x)、(x，f(x)是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，aN依题意知：0x1，0x1，且xx于是有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，所以f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)为正整数故f(0)1，f(1)1从而 f(0)f(1)1 另一方面，且由xx知等号不同时成立，所以由、得，a16又aN，所以a5说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式
5、，是解决这类问题的关键例5.设等差数列a的首项a10且Sm=Sn(mn)问：它的前多少项的和最大？分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列解:设等差数列a的公差为d，由Sm=Sn得ak0，且ak+10(kN)说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键例6若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然
6、后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+
7、f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高例7(2002 江苏)己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；（3）讨论：对任意，的充要条件。证明：（1）依题意，对任意，都
8、有（2）充分性：必要性：对任意（3）即 而当例8若a0，b0，a3+b3=2求证a+b2，ab1分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”证法一 (作差比较法)因为a0，b0，a3+b3=2，所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20，即 (a+b)323证法二 (平均值不等式综合法)因为a0，b0，a3+b3=2，所以所以a+b2，ab1说明：充分发挥“1”的作
9、用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮证法三 (构造方程)设a，b为方程x2-mx+n=0的两根则因为a0，b0，所以m0，n0且=m2-4n0因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n，所以所以a+b2由2m得4m2，又m24n，所以44n，即n1所以 ab1说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点证法四 (恰当的配凑)因为a0，b0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，于是有63ab(a+b)，从而83ab(a+b)+
10、2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b2(以下略)即a+b2(以下略)证法六 (反证法)假设a+b2，则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab2(22-3ab)因为a3+b3=2，所以22(4-3ab)，因此ab1 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab2ab，所以ab1 于是与矛盾，故a+b2(以下略)说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法例9设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相分析：因为xR，故|f(x)|的最
11、小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)证明：由题意知，a0设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程ax2+bx+c=x无实根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即b2-4ac-1，所以|b2-4ac|1说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径例10（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增
12、汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得 例11已知奇函数知函数分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 令 要使10 当 30当 综上： 例12如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能
13、使半个椭圆形隧道的土方工程最小？（半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）椭圆方程为：将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得故隧道拱宽约为33.3米2)由椭圆方程故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.例13已知nN，n1求证分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解则说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决例14已知函数分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。证明：（1）当且仅当时，上式取等号。（2）时，结论显然成立当时，例15（2001年全国理）己知（1）（2）证明：（1）同理（2）由二项式定理有因此。七、强化训练1已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） A B C
