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1、综合仿真练(四)(理独)1本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，X，且AX ，其中x，yR.(1)求x，y的值；(2)若B，求(AB)1.解：(1)AX . 因为AX，所以解得x3，y0. (2)由(1)知A ，又B ，所以AB . 设(AB)1 ，则，即. 所以解得a，b，c0，d，即 (AB)1 .B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长解：因为曲线C的极坐标方程为s
2、in24cos 0，所以2sin24cos ，即曲线C的直角坐标方程为y24x. 将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，即t28t0，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.C选修45：不等式选讲(2019南师附中等四校联考)(基本不等式)已知x0，求证：x3y233x2y.证明：因为x0，所以x32x31133x，当且仅当x31，即x1时取“”因为y212y(y1)20，所以y212y，当且仅当y1时取“”所以(x32)(y21)3x2y，即x3y233x2y，当且仅当xy1时取“”2(2019南京三模)平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)及点M(2,0)，动
3、直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4.(1)求p的值；(2)如图，若l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上解：(1)因为直线l过M(2,0)，且当l垂直于x轴时，AB4，所以抛物线经过点(2,2)，将(2,2)代入抛物线方程，得42p2，解得p1.(2)证明：由(1)知，抛物线的方程为y22x.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立，得消去x，得ky22y4k0，则416k20，y1,2，所以y1y2，y1y
4、24.因为C为AB的中点，所以yC，则直线l1的方程为y.因为直线l2过点M且与l垂直，则l2的方程为y(x2)(k0)，联立，得解得即P，所以点P在定直线x1上3已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学
5、归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；f若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立4
