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1、综合仿真练(四)(理独)1本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A选修42:矩阵与变换已知矩阵A,X,且AX ,其中x,yR.(1)求x,y的值;(2)若B,求(AB)1.解:(1)AX . 因为AX,所以解得x3,y0. (2)由(1)知A ,又B ,所以AB . 设(AB)1 ,则,即. 所以解得a,b,c0,d,即 (AB)1 .B选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin24cos 0,已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长解:因为曲线C的极坐标方程为s
2、in24cos 0,所以2sin24cos ,即曲线C的直角坐标方程为y24x. 将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x,得24,即t28t0,解得t10,t28.所以AB|t1t2|8.C选修45:不等式选讲(2019南师附中等四校联考)(基本不等式)已知x0,求证:x3y233x2y.证明:因为x0,所以x32x31133x,当且仅当x31,即x1时取“”因为y212y(y1)20,所以y212y,当且仅当y1时取“”所以(x32)(y21)3x2y,即x3y233x2y,当且仅当xy1时取“”2(2019南京三模)平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y22px(p0)及点M(2,0),动
3、直线l过点M交抛物线于A,B两点,当l垂直于x轴时,AB4.(1)求p的值;(2)如图,若l与x轴不垂直,设线段AB的中点为C,直线l1经过点C且垂直于y轴,直线l2经过点M且垂直于直线l,记l1,l2相交于点P,求证:点P在定直线上解:(1)因为直线l过M(2,0),且当l垂直于x轴时,AB4,所以抛物线经过点(2,2),将(2,2)代入抛物线方程,得42p2,解得p1.(2)证明:由(1)知,抛物线的方程为y22x.易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x2)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2)联立,得消去x,得ky22y4k0,则416k20,y1,2,所以y1y2,y1y
4、24.因为C为AB的中点,所以yC,则直线l1的方程为y.因为直线l2过点M且与l垂直,则l2的方程为y(x2)(k0),联立,得解得即P,所以点P在定直线x1上3已知集合X1,2,3,Yn1,2,3,n(nN*),设Sn(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn,令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明解:(1)Y61,2,3,4,5,6,S6中的元素(a,b)满足:若a1,则b1,2,3,4,5,6;若a2,则b1,2,4,6;若a3,则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时,f(n)(tN*)下面用数学
5、归纳法证明:当n6时,f(6)6213,结论成立假设nk(k6)时结论成立,那么nk1时,Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k1),(2,k1),(3,k1)中产生,分以下情形讨论:a若k16t,则k6(t1)5,此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2,结论成立;b若k16t1,则k6t,此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2,结论成立;c若k16t2,则k6t1,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;d若k16t3,则k6t2,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;e若k16t4,则k6t3,此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2,结论成立;f若k16t5,则k6t4,此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2,结论成立综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立4