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1、九里中学高二数学试题必修5第二章数列复习专题一、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法二、方法总结1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等三、
2、知识内容：1.数列数列的通项公式： 数列的前n项和：2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 （2）等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。等差数列的通项公式：如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。说明：该公式整理后是关于的一次函数。等差数列的前项和： 说明：对于公式整理后是关于的没有常数项的二次函数。等差中项：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或说明：在一个等差数列中，从
3、第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有（2）对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示： 3.等比数列等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也
4、就是，如果是的等比中项，那么，即。等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。等比数列的前n项和： 当时，等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：4.数列前n项和（1）重要公式：；（2）等差数列中，（3）等比数列中，（4）裂项求和：；（）四、递推关系通项公式的求法：对于给定递推关系求数列的通项公
5、式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如递推式。由累加法可求得通项公式为例1（2007北京高考题）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式 模式二：形如递推式。由得，例2已知数列满足，求通项公式。模式三：形如（其中、为常数）递推式，通常解法是设，求出，因是等比数列则可求出通项公式。例3（2007全国高考卷）已知数列中，（I）求的通项公式；模式四：形如（其中为常数）递推式，（、为常数）是其特殊情形。后者的等式两边同除以，得，令，
6、则可化归为（、为常数）型。例4（2007天津高考题）在数列中，其中（I）求数列的通项公式；（II）略；模式五：形如（其中为常数）递推式，设数列，使，则，即，令，则，即已化为模式一。例5已知数列满足，且，求数列的通项公式。模式六：形如(且递推式，它的推广形式为。通过对等式两边取对数，得，再令，即转化为类型一例6已知数列满足，求。模式七：形如（其中、是不为零的常数）递推式，可变形为，则是公比为的等比数列，这就转化为了模式三。例7（2006福建文科高考题）已知数列满足,。（I）略；（II）求数列的通项公式；模式八：形如及其变形形式和（其中、是不为零的常数）递推式。对两边同除以，再令，即化为等差数列形
7、式。例8（2005重庆高考题）数列满足且记（I）略；（）求数列的通项公式及数列的前n项和模式九：形如（其中）递推式，它是模式八的推广。通常两边同除以，得，有，再令，得，这就化为了模式五。例9（2006江西高考题）已知数列an满足：，且，（I）求数列an的通项公式；（2）略。解：（I）将条件变为：，因此为一个等比数列，其首项为1，公比，从而，据此可得.模式十：形如（其中、是不为零的常数）递推式，将原式转化为，然后再通过迭代进行求解。例10（2005江西高考题）已知数列， （1）略；（2）求数列的通项公式an.模式十一：形如（、为常数）递推式，解常解法为：先设函数，视、为得到特征方程，再以此方程的
8、解的情况来求解。若此方程无解，则此数列为循环数列；若特征方程有两个不等的实根、，则可变形为（其中）；若特征方程有两个相等的实根，则可变形为（其中为常数）。例11已知数列an，满足，求an.模式十二：形如（其中、为非零常数）递推式。例12（2007四川高考题）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。（）、（）略；（）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式。 五、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排
9、序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。例1已知满足，当时，若，求 （二）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。例2求数列的前项和。（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3已知数列满足，求其前项和。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如 、等公式。例4求数列,的和。（五）拆项（裂项）相消法：若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关
10、于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。例5已知数列满足，求数列的前项和（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例求数列的前项和（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。例7已知数列，求数列的前项和（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论。例8若，求数列的前项和（九）利用周期性求和：若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。例9已知数列中，求其前项的和.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10求数列前项和，其中.（十一）待定系数
11、法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。例11求，的和（十二）组合数法例12求数列，的和数列专题复习一、填空题1已知1，x，4成等比数列，则x的值是 2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，则c等于 3一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n是 4已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则的值等于 5在ABC中，a=2,A=30,C=45,则ABC的面积S的值是 6. 已知正项数列中, ,则通项 7已知等差数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该等差数列的公差为 8若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最
12、大自然数n是 9数列，则= 10某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果按年利率为10来考虑,那么到出煤的时,国家实际投资总额是（其中） 11在ABC中，已知b=，则C= 12已知等差数列中，= 13在函数中，若a,b,c成等比数列，且，则f(x)有最 值（填“大”或“小” ），且该值为 14已知数列的前n项和，则通项公式 15RtABC的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角A，则sinA= 16.设函数f（x）满足 =（nN*）且，则 = ；17.设，则 18.某工厂生产总值的月平均增长率是,则年增长率是 二、解答题19在等比数列中，求（1）和公比q ；（2）若各项均为正数，求数列的前n项和。20在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A,B是锐角，c=10，且 （1）证明C=90 ；（2）求ABC的面积。21已知正数数列的前n项和为，且对于任意的，有 （1）求证为等差数列；（2）求的通项公式；（3）设，求的前n项和。答案：一、 1 2或2 2、2 3、14 4、 5、 6、 7、38、 C. 4014 9、A 10、 671万元 11、12、15 13、大、-3 14、15、 16 97 、17、 18、 17、（1）（2）18、（1）证明略（2）2419、（1）证明略（2）2n-1（3）- 10 -用心 爱心 专心
