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1、空间向量及运算 复习教案【考试要求】1 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘2 了解空间向量的基本定理。3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质。【基础知识】一、基本概念 向量：在空间具有大小和方向的量。相等向量：大小相等，方向相同的向量。平行向量或共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。二、空间向量加、减法及数乘运算1 2、运算律： 三、基本定理1、共线向量基本定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在唯一实数，使。2、共线向量基本定理如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x,y),使推论1 空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对
2、（）使，或对空间任一定点,有 在平面内，点对应的实数对（）是唯一的，式叫做平面的向量表示式 。推论2 对空间任一点和不共线的三点，满足向量关系式 (其中=1)的四点共面（当且仅当=1时）。 两推论的作用:证明四点共面 3.空间向量的基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 如果三个向量不公面，那么所有空间所组成的集合就是，这个集合可看作是由向量生成的，所以我们把叫做空间的一个基低，都叫做基向量，（）叫做对基底下的坐标。 推论 设是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数使。四、两向量的数量积1、空间两向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在
3、空间任取一点O，作，则角叫做的夹角，记作。，并且2、=则称互相垂直，并记作。3已知空间两个向量,则叫做向量的数量积，记作。即=。4、性质： 5、运算律 【基础训练】1.有4个命题：若p=xa+yb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则p=xa+yb；若=x+y，则P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是 .2.下列是真命题的命题序号是 .分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反若向量，满足|，且与同向，则若两个非零向量与满足+=0，则3.在四面体O-ABC中，=a,=b, =c
4、,D为BC的中点,E为AD的中点，则= (用a,b,c表示).4.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，则a与b的夹角为 .5.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若=（+），则 = 【典型列题】一、空间向量的基本运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.二、应用空间向量证明线面关系、求空间角和距离例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、
5、H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（+）.例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.三、空间向量的综合运用例4 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且当的值为多少时，能使？请给出证明。例5 在平行六在面体ABCD-中已知数AB=5，AD=4，=3 ， ，（1）试用向量法证明：顶点在底面ABCD上的射影在BAD的平分线上；（2）若M、N分别在上且=2，求所成的角。【小 结
6、】1、 空间向量在立几中应用，既可以证明垂直和平行，又可以计算角和距离，其主要依据是向量运算的几何意义。2、 用向量方法解决立体几何问题时，关键是一个几何问题向量化的转化过程，从建立基向量，到表示相关向量，到应用向量的有关运算，构成一个非常严密的推理过程。巩固练习1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为 .2、A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足=0，=0，=0，则BCD是 三角形（用“锐角”、“直角”、“钝角”填空）.3、已知六面体ABCDABCD是平行六面体.（1）化简+,并在图上标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC上的分点，设 =+，试求,的值.4、.已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心.（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.
