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1、洛阳市20182019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（ ）A. -4B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知求出复数z,再求及其虚部得解.【详解】由题得，所以，所以的虚部为.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义
2、进行求解即可【详解】，则或，则，故选：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键4.在等比数列中，已知，则（
3、）A. 6B. C. -8D. 8【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，所以，则，选D.5.已知向量，点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：运用向量的加减运算可得=（5，5），运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影为 ，即可得到所求值详解：，点C（1，0），D（4，5），可得=（5，5），=25+15=15，| |=5 ，可得向量在方向上的投影为：=故选：C点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者
4、应用数形结合.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积7.执行如图所示的框图，若输入的是7，则输出的值是（ ）A. 720B. 120C. 5040D. 1440【答案】C【解析】【分析】直接模拟程序框图运行程序即得解.【详解】由题得k=1,p=1,p=1,17，k=2,p=2,27
5、,k=3,p=6,37,k=4,p=24,47,k=5,p=120,57,k=6,p=720,67,k=7,p=5040,77，输出P=5040.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.欧阳修的卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积
6、的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解【详解】如图所示：，故选：B 【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解9.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】解：设直线 的方程为： ，与抛物线方程联立可得： ，则： ，由弦长公式可得： ，三角形的面积为： .本题选择A选项.10.若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，再求出，利用幂函数的性质比较得解.【详解】设，所以所以，因为函数y=在（0，+）单
7、调递减，且，所以.故选：A【点睛】本题主要考查对数指数运算，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】B【解析】分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点P(x,y)是函数图像上的任意一点，则点Q在函数y=f(x)的图像上，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是，所以图象不关于直线对称，所以该选项
8、是错误的；对于选项B,，所以函数g(x)是奇函数，解，,所以函数在上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为，解所以函数图像的对称中心为,所以该选项是错误的.故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，所以函数在为增函数，在为减函数，作函数的图象与直线，由其位置关系得：，解得，得解
9、.【详解】设，则当时，当时，所以函数在为增函数，在为减函数，的解集为等价于的解集为，即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，函数的图象与直线的位置关系如图所示，由图可知：，解得：，故选: 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和图像，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若，则的展开式中，含项的系数为_【答案】【解析】【分析】先根据求出n=6,再求的的系数，最后求含项的系数.【详解】由题得，所以，设的通项为，当该项系数为,当该项的系数为,所以含项的系数为1
10、35-21215=-2295.故答案为：-2295【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_【答案】乙【解析】【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙丙团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学委，由此得到乙不是学委，故
11、乙是班长故答案为：乙【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题15.若数列满足，且对于任意的都有，则 _【答案】【解析】【分析】先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求解.【详解】由题得所以，适合n=1.所以，所以 .故答案：【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，三点作该正方体的截面，则截面的周长为_【答案】【解析】如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，且分别是棱的中点， ，截面的周长
12、为，故答案为.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知内角，所对的边分别为，向量，且，为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再化简得到角大小；（2）先利用正弦定理得，且.再利用三角函数的图像和性质求的面积的最大值.【详解】（1），且.，. 因为B为锐角，所以,所以所以.（2）由（1）知，在中，由正弦定理得.所以，且.所以 .当且仅当即时面积有最大值【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析
13、推理能力.18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。（I） 证明PC平面BED；（II） 设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小【答案】【解析】解法一：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC,又19.某商场营销人员对某商品进行市场营销调查，发现每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过统计得到下表：回馈点数12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合该商品每天的销量（百件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方
14、程，并预测若回馈6个点时该商品每天销量；（2）已知节日期间某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了抽样调查，得到如下频数表：返还点数预期值区间频数206060302010（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：，；.【答案】（1），2百件；（2）（i）6,；（ii）2.【
