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1、等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用二、自主学习：【课前检测】1.x=是a、x、b成等比数列的( D )条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要2等比数列中，若，则等于（ C ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。略解：3若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列4设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是 说明：【考点梳理】1.基本量的思
2、想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。解读：“知三求二”。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等 差 数 列等 比 数 列定义an为等差数列an+1-an=d（常数），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d（）求和公式中项公
3、式等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件. an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件.重要性质1(反之不一定成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立.特别地，。另：即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.3 成等差数列。成等比数
4、列。三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解：（）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知an为等差数列，且，。（）求an的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式解：（）设等差数列的公差。 因为 所以 解得所以 （）设等比数列的公比为。 因为所以即=3。 所以的
5、前项和公式为小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）.题型2 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 （2009广东三校一模）数列an是公差大于零的等差数列，,是方程的两根。数列的前项和为,且，求数列,的通项公式。解：由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, 变式训练2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a222a32n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 当n2时，a12a222a32n2an18(n1)
6、(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由题意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，数列bn1bn的公差为2(4)2，bn1bn4(n1)22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小结与拓展：1）在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数
7、列通项公式的常用方法。题型3 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3与as的等比中项为2。（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2 an，数列bn的前n项和为Sn当最大时，求n的值。解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以
8、，bn是以4为首项，1为公差的等差数列。所以， 所以，当n8时，0，当n9时，0，n9时，0，当n8或9时，最大。变式训练3 （2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且（）求的通项公式；（）求证：数列为等比数列;（）求前n项和的最小值解：(1)由得, (2),; 由上面两式得,又数列是以-30为首项,为公比的等比数列. (3)由(2)得，= ，是递增数列 当n=1时, 0；当n=2时, 0；当n=3时, 0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且 小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1重要
9、思想：基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。2重要方法：配方法、迭代法、累加法及累乘法。3重要考点：1）数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：. 2）韦达定理：一元二次方程的两个根为、，则；反过来，若，则、是方程的两根。 4.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。五、检测巩固：1（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项；（2）已知数列
10、是等比数列,且,，则 9 （3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 2若数列成等差数列，且，求解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ，3等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，求其项数和中间项.解：设数列的项数为项，则，数列的项数为，中间项为第项，且说明：（1）在项数为项的等差数列中，；（2）在项数为项的等差数列中4数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和解：（1）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时，5*若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有，（1）求数列的通项公式；（2）设集合，若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式解：（1）当时：，两式相减得：，又也适合上式，数列的通项公式为（2）对任意，是中的最大数，设等差数列的公差为，则，即，又是一个以为公差的等差数列，六、学习反思：- 8 -用心 爱心 专心
