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1、河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学12月月考试题 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，则 2.平面内有两定点及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的充分不必要条件 甲是乙成立的必要不充分条件甲是乙成立的充要条件 甲是乙成立的非充分非必要条件3.命题“,”的否定是, , ,4.设，则“”是“”的充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为6.如果方程表示双曲线，则的取值范围是7.已知是椭圆的两个
2、焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是正三角形，则这个椭圆的离心率为 8.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，则 9.焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为 10.设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于的一点，直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为 11.已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为12. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是 二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若“”是真命题，则实
3、数的最小值为 .14.已知命题：函数是奇函数，：函数为偶函数，则下列四个命题： ；其中，真命题是_(填序号) 15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_.16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，的最小值为_.三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分) 命题方程表示焦点在轴上的双曲线.命题：若存在，使得成立（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围；（2）如果“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围18(本小题满分12分) 已知椭圆的长轴长为，短轴长为(1)求椭圆方程
4、；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长19(本小题满分12分)已知中，,(1)求边的长；(2)设是边上一点，且的面积为，求的正弦值20(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于两点，为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若的面积等于,求直线的方程21(本小题满分12分)已知函数,是数列的前项和，点在曲线上.(1)求数列的通项公式；(2)若，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.22(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切(1)求椭圆的方程；(
5、2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；(3)在(2)的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围洛阳一高2019-2020学年高二年级12月月考数学参考答案一选择题15 610 11-12 二填空题 13. 14. 15. 16.三解答题17. 解：(1)命题方程表示焦点在轴上的双曲线，若命题为真命题，则，即的取值范围是 2分（2）若命题为真命题，则在有解，得.4分又“”为假命题，“”为真命题，则两个命题一真一假， 5分若真假，则，解得. 7分若假真，则,解得. 9分综上，实数的取值范围为 10分18. 解：(1)由椭圆长轴长为，短轴长为
6、，得，所以， 2分所以椭圆方程为 4分(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.在椭圆上，所以， 6分两式相减可得，所以的斜率为， 8分点为中点的弦所在直线方程为. 10分由，得，所以或，所以 12分19.(1)因为，所以，由得 2分即，从而， 4分又，所以， ，所以.6分(2)由已知得，所以 8分在中，由余弦定理得，. 10分由正弦定理得，故 12分20. 解：(1)依题意，,，双曲线的方程为. 3分(2)依题意，设直线的方程为. 4分由得. 6分设，当时，8分所以. 10分又到直线的距离为，所以的面积, 11分,所以直线的方程为 12分21. (1)因为在曲线上，且，所以. 1分当时，. 3分
7、当时,适合上式，所以. 5分(2)因为, 6分所以, 7分, 得 .整理得. 9分所以. 10分因为，所以，所以，即，11分所以，所以存在最大值. 12分22.解：(1)由题意知，所以，即1分又因为以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，所以，所以 2分故椭圆的方程为 2分(2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 3分由得 4分设点，则,.5分依题意，直线的方程为.令，得 6分将，代入，整理得所以直线与轴相交于定点 7分(3)当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为8分由得，易知 9分设，则，则.10分因为，所以,所以 11分当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得或,此时所以的取值范围是 12分- 9 -
