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1、河南省平顶山市、许昌市、汝州2017-2018学年高二数学上学期第三次联考试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，得。所以双曲线的渐近线方程是。选C。2. 已知命题在定义域内是单调函数，则为（ ）A. 在定义域内不是单调函数B. 在定义域内是单调函数C. 在定义域内不是单调函数D. 在定义域内不是单调函数【答案】A【解析】由全称命题的否定可得为“在定义域内不是单调函数”。选A。3. 设等差数列的首项为，若，则的公差为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 设等差数列的公差为，则，解得，故选B.4. 下列命题为特称命题的是 （ ）A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面C. 偶函数的图象关于轴垂直 D. 存在大于1的实数，使【答案】D【解析】 对于选项A、B、C都为全称命题，选项D中，根据特称命题的概念，可得命题“存在大于的实数，使”中含有存在量词，所以D为特称命题，故选D.5. 若椭圆(0m3)的长轴比短轴长，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得，解得。选D.6. “”是“方程表示焦点在上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要
3、条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以， 所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.7. 在中，角所对的边分别为，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以的周长为，故选C.8. 若以双曲线的左右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得点为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左右焦点分别为 ，则有，解得，所以，因此。选B。9. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在此双曲线的右支上，且，则的面积为（ ）A. B. C
4、. D. 【答案】D【解析】双曲线方程即为，所以，由定义得，又，所以。由余弦定理得，所以，因此的面积为。选D。点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，焦点三角形与双曲线的定义、正（余）弦定理和三角形的面积结合在一起。在求焦点三角形的面积时，可利用定义式的平方及余弦定理得到的形式，再用面积公式计算10. 若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A11. 给出下列三个命题：；或是“”的必要不充分条件，若，则.那么，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C.易知或不能推出“”，但“”能推出或，故为真命题。由得且，所以，所以为真命题。因此为真命
5、题。选C。12. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂线交直线于点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，其中，为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得直线的方程为，当时，所以点D的坐标为。因此直线OD的斜率为，由题意得，整理得，故，所以。选D。点睛：椭圆的几何性质中，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得的值，直接代入公式求得；(2)列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“若，则”的否
6、命题为_.【答案】若，则【解析】由否命题的定义可得所给命题的否命题为“若，则”。答案：若，则14. 在中，角所对的边分别为，则 _.【答案】【解析】 在中，由，则，所以，由正弦定理可得.15. 设变量满足约束条件，则的最大值是_.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示。表示可行域内的点与点连线的斜率。结合图形得，可行域内的点A与点连线的斜率最大。由，解得。所以点A的坐标为。答案：点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解
7、：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.。16. 已知焦距为的双曲线的左右顶点分别为是双曲线上异于的任意两点，若 依次成等比数列，则双曲线的标准方程是_.【答案】【解析】 设，则， 由于成等比数列，则， 又，所以，即，所以， 又，即， 所以双曲线的方程为. 点睛：本题考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、等比中项公式等知识点的应用，同时着重考查了推理与运算能力，解答中认真审题、准确计算是解答的关键三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数.（1）若，
8、求的最小值，并指出此时的值；（2）求不等式的解集.【答案】(1)的最小值为，此时.(2).【解析】试题分析：（1）根据表达式的特点得到，利用均值不等式求得最值；（2）分式不等式转化为整式不等式求解即可。解析：（1） ，当且仅当即时，取等号，故的最小值为，此时，（2）由得，故所求不等式的解集为18. （1）已知点的坐标为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程；（2）已知定点的坐标为为动点，若以线段为直径的圆恒与轴相切，求动点的轨迹方程.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）设出动点的坐标，根据直线的斜率之积是列出等式求解即可。（2）设，则线段的中点为，连，则轴，由为直角三
9、角形斜边上的中线可得，求出x,y间的关系式即为所求。试题解析：（1）设动点，因为直线的斜率之积是，所以，整理得，所以动点的轨迹方程为.（2）设动点，线段的中点为，圆与轴相切于，连接，所以轴，因为为直角三角形斜边上的中线，所以，由，化简得，所以动点的轨迹方程为.19. 设“关于的不等式的解析为”，“函数在区间上有零点”.（1）若为真，求的取值范围；（2）若为假，为真，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由命题为真，则，即可求解实数的取值范围.（2）根据为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）函数是增函数，所以若为真，则，解得.（2）若为
10、真，则，即，解得，因为为假，为真，所以中一真一假，若真假，则；若假真，则，综上，的取值范围是.20. 已知椭圆的与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.（1）求的长轴长；（2）设直线与交于两点（在的右侧），为原点，求.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）根据题意，列出，求得的值，即可得到椭圆的长周长；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得，得的坐标，即可求解故.试题解析：（1）由题意得设椭圆的标准方程为，则，所以，则的长轴长为.（2）由，得，解得，则，故.21. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若正整数满足，求的值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1
11、）由题意得，（），与条件中所给的式子相减可得，解得。验证当时，也满足即可。（2）根据列项相消法求得，由题意得，解方程即可。试题解析：（1），（）两式相减得，当时，解得，也满足，所以.（2），令，解得.点睛：（1）根据本题的特点选择用仿写、作差的方法求得数列的通项，在仿写时不要忘了这一条件，故在最后要验证时是否满足。（2）数列求和的方法也比较多，解题时要根据通项公式的特征合理选择，常见的方法有公式法、分组法、列项相消法、错位相减法等。22. 如图，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，已知点，过点的动直线与椭圆相交于两点，与关于轴对称.（1）求的方程；（2）证明：三点共线.【答案】(1).(2)证明见解
12、析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且过点及可得可组成关于的方程组，解方程组可得椭圆方程。（2）当直线与轴垂直时，结论成立；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，利用根据系数的关系并结合斜率公式可得，从而可得结论成立。试题解析：（1）解：由已知得，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线与轴垂直时，显然有三点共线。当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，因为直线与椭圆交于A,B两点，所以，设的坐标分别为，则，因此， 易知点关于轴垂直的点的坐标为，又，所以，又，有公共点，所以三点共线.点睛：圆锥曲线中的三点共线的问题可通过斜率公式证明，解题时先求出由三点确定的两条线段的斜率，通过两个斜率的相等，同时说明两条线段有公共点可得三点共线。另外利用向量的共线也可证明三点共线。 - 12 -
